高中数学竞赛培训资料函数例一．定义在R上的函数f(x)满足:f(x－1x)=x2+1x2（对所有x≠0）则f(x)的表达式是例二．函数f(x)对任意正实数x，y满足f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=1，求f(164)之值。例三．设f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是常数，若f(1)=10，f(2)=20，f(3)=30，求f(10)+f(－6)例四．对于每个实数x，设f(x)是4x+1，x+2，－2x+4三个函数中的最小值，则f(x)的最大值是多少？例五．（91年全国联赛试题）设函数y=f(x)对一切实数x都满足：f(3+x)=f(3－x)，方程f(x)=0恰有6个不同的实根，则这6个实根之和为（A）18（B）12（C）9（D）0例六．（88年全国联赛试题）设有三个函数，第一个是y=ϕ(x)，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数图象关于直线x+y=0对称，那么第三个函数是(A)y=ϕ(x)（B）y=－ϕ(−x)(C)y=－ϕ−1(x)(D)y=－ϕ−1(−x)例七．设f(x)=424x+2，求f(11001)+f(21001)+f(31001)+⋯+f(10001001)之值。例八．定义在R上的函数y=f(x)具有以下性质1．对任何x∈R都有f(x3)=f3(x)2．对任何x1,x2∈R且x1≠x2都有f(x1)≠f(x2)则f2（－1）+f2（0）+f2（1）=例九．若a＞0,a≠1，F(x)是一个奇函数，则G(x)=F(x)[1ax−1+12]是（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）与a的取值有关例十．已知函数y=f(x)，x∈R，f(0)≠0，且对于任意实数x1，x2都有f(x1)+f(x2)=2f(x1+x22)×f(x1−x22)，则此函数是（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）奇偶性不确定例十一．已知实数x,y满足(3x+y)2+x5+4x+y=0，求证：4x+y=0例十二．已知函数f(x)满足：1）f(12)=12）值域为[−1,1]3）严格递减,4）f(xy)=f(x)+f(y)试求不等式f－1(x)f－1(11−x)≤12的解集。例十三．对任意整数x，函数f(x)满足f(x+1)=1+f(x)1−f(x)，若f(1)=2，求f(2001)例十四．（92年全国联赛试题）设f(x)是定义在R上的函数，且满足下列关系：f(10+x)=f(10－x)，f(20+x)=－f(20－x)，则f(x)是（A）偶函数又是周期函数（B）偶函数但非周期函数（C）奇函数又是周期函数（D）奇函数但非周期函数例十五．（90年全国联赛试题）设f(x)是定义在实数集上的周期函数且是偶函数，周期为2，已知当x∈[2,3]时f(x)=x，则当x∈[−2,0]时（A）f(x)=x+4(B)f(x)=2－x(C)f(x)=3－|x+1|(D)f(x)=2+|x+1|练习：1．计算(log23)(log34)(log45)……(log6364)=2．已知f(x)=x2，g(x)=−12x+5，g－1(x)表示g(x)的反函数，设F(x)=f[g−1(x)]－g－1[f(x)]，则F(x)的最小值是3．对任意的函数f(x)，在同一直角坐标系中，函数y=f(x－1)与函数y=f(1－x)的图象(A)关于x轴对称（B）关于直线x=1对称（C）关于直线x=－1对称（D）关于y轴对称4．方程sinx=lgx的实根的个数是(A)1(B)2(C)3(D)大于35．若F(1−x1+x)=x，则下列等式中正确的是(A)F(－2－x)=－2－F(x)(B)F(－x)=F(1+x1−x)(C)F(x－1)=F(x)(D)F(F(x))=－x6．已知函数f(x)=ax2－c满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5则f(3)满足(A)－7≤f(3)≤26(B)－4≤f(3)≤15(C)－1≤f(3)≤20(D)－283≤f(3)≤3537．函数f(x)=sinx(12x−1+12)是（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）奇偶性不确定8．已知偶函数f(x)在[0,4]上是减函数，如果m=f(log2116)，n=f[−arccos(−1)]那么m,n的大小关系是(A)m＞n(B)m＜n(C)m=n(D)不确定9．定义域、值域都是R的函数y=f(x)是增函数，设方程f(x)=x的解集为P，方程x=f[f(x)]的解集为Q，则有(A)P=Q(B)P⊂Q(C)Q⊂P(D)P⊄Q且Q⊄P10．函数y=log13(x2−ax−a)的递增区间是(－∞，1－√3)则实数a是(A)2或1－√3(B)2－2√3或1－√3(C)2或2－2√3(D)－2或1－√311．求证：(1+√1997)1000−(1−√1997)1000√1997是整数。12．设a＞0是实数，f(x)是定义在R上的实函数，对每一实数x满足条件：f(x+a)=12+√f(x)−[f(x)]2证明：是周期函数，实数2a是它的一个正周期。13．设f(x)是定义在R上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间(2k－1，2k+1),已知：当x∈I0时，f(x)=x2求：f(x)在Ik上的解析式。14．函数f(x)定义在R上，且对一切实数x满足等式：f(x+2)=f(2－x),f(7+x)=f(7－x)设：f(x)=0的一个根是x=0，记f(x)=0在区间－1000≤x≤1000中根的个数为N求：N的最小值。15．设函数y=f(x)定义域为R，当x＞0时，f(x)＞1，且对任意x，y∈R有：F(x+y)=f(x)f(y)，当x≠y时，f(x)≠f(y)（1）证明：f(0)=1；（2）证明：f(x)在R上递增；（3）设A=｛(x,y)|f(x2)f(y2)
