知识梳理(一）、对平面内任意的两个向量babba//),0(,的充要条件是：存在唯一的实数，使ba由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二）、三点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O，存在唯一的一对实数x,y使得：OPxOAyOBuuuvuvuuuv且OPxOAyOBuuuvuvuuuv。特别地有：当点P在线段AB上时，0,0xy当点P在线段AB之外时，0xy典例剖析例1、已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足RyxACyABxAP.,，则yx41的最小值是分析：Q点P落在ABCV的边BC上B，P,C三点共线APxAByACuuuruuuruuurQ1xy且x>0,y>014141444()1()()145yxyxxyxyxyxyxyxyQx>0,y>040,0yxxy由基本不等式可知：4424yxyxxyxy，取等号时4yxxy224yx2yx0,0xyQ2yx1xyQ12,33xy，符合所以yx41的最小值为9点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.例2、在△ABC中，13ANNCuuuruuur，点P是BC上的一点，若211APmABACuuuruuuruuur，则实数m的值为（）A．911B.511C.311D.211分析：,,BPNQ三点共线，又2284111111APmABACmABANmABANuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur8111m311m，故选C例3、在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若ABuuur＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为．：Q因为O是BC的中点，故连接AO，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AOABACuuuruuuruuurmABAMuuuruuuurQ＝，ACnANuuuruuur1()2AOmAMnANuuuruuuuruuur22mnAOAMANuuuruuuuruuur又,,MONQ三点共线，由平面内三点共线定理可得：122mn2mn变式、直线l过YABCD的两条对角线AC与BD的交点O，与AD边交于点N,与AB的延长线交于点M。又知ABuuur＝mAM，ADuuur＝nAN，则m＋n=分析：因为点O两条对角线AC与BD的交点，所以点O为AC的中点1()2AOABADuuuruuuruuurQABuuur＝mAM，ADuuur＝nAN1()222mnAOmAMnANAMANuuuruuuuruuuruuuuruuur又,,MONQ三点共线，图4由平面内三点共线的向量式定理可得：122mn2mn例4、点是△的重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线．设，，证明：是定值；证明：Q因为G是OABV的重心，分析：211()()323OGOAOBOAOBuuuruuuruuuruuuruuur1OPxOAOAOPxuuuruuuruuuruuurQ1OQyOBOBOQyuuuruuuruuuruuurQ111111()()3333OGOAOBOPOQOGOPOQxyxyuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur又,,PGQQ三点共线，11133xy113xy11xy为定值3例5、如图所示,在平行四边形ABCD中，13AEABuuuruuur,14AFADuuuruuur,CE与BF相交于G点，记ABauuurr，ADbuuurr，则AGuuur_______分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。解：,,EGCQ三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x使得(1)AGxAExACuuuruuuruuur,Q1133AEABauuuruuurr,ACabuuurrr12(1)()(1)(1)33xAGxaxabaxbuuurrrrrr⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①又,,FGBQ三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使得(1)AGABAFuuuruuuruuur1144AFADbuuuruuurrQ，，1(1)4AGabuuurrr⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②由①②两式可得：213114xx6737x3177AGabuuurrr点评：本题的解法中由两组三点共线（F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上）变式2、在三角形ABC中,AM﹕AB=1﹕3,AN﹕AC=1﹕4,BN与CM相交于点P，且aAB，bAC，试用a、b表示AP解：,,NPBQ三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y使得,1APxAByANxyuuuruuuruuur,QAN﹕AC=1﹕4,bACAN41411444yyxAPxABACxabxabuuuruuuruuurrrrr⋯⋯①又,,CPMQ三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数,PABCMN使得,1APAMACuuuruuuuruuur AM﹕AB=1﹕3∴aABAM3131，，133APababuuurrrrr⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②由①②两式可得：1314xx311211x81,11xyyQ321111APabuuurrr练习：1.，点在边上，，设，则（）2、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x,y)满足OCuuur=αOAuuur+βOBuuur，其中α,β∈R且α+β=1，则x,y所满足的关系式为（）A．3x+2y-11=0B．(x-1)2+(y-2)2=5C．2x-y=0D．x+2y-5=03.已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足RyxACyABxA...
