2006年高考专项训练------立体几何1.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，,,//,PAABCDAEPDEFCDAMEF底面(1)证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；(2)若3PAAB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值2.已知三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长均为a，侧面A1ACC1⊥底面ABC，A1B＝26a，（Ⅰ）求异面直线AC与BC1所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：A1B⊥面AB1C.BCDAPMFE3.如图，四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB3DABSC（I）求证BCSC；（II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小4.在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=23，M、N分别为AB、SB的中点.（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小；（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.5.如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1.(1)求二面角C—DE—C1的正切值;(2)求直线EC1与FD1所成的余弦值.6.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=a2,点E在PD上，且PE:ED=2:1.（I）证明PA⊥平面ABCD；（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.BCDAPED1C1B1CDBAA1EF7.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.8.如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.（I）求点P到平面ABCD的距离，（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.·B1PACDA1C1D1BOH·9.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90o，AC＝1，CB＝2，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M．(Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM；(Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小．10.三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.(1)求证AB⊥BC；(II)如果AB=BC=23，求AC与侧面PAC所成角的大小．ABCPABCDPABCDPFE11.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；（Ⅱ）证明PA⊥BD.12.已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，PDDAB,60平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值.13.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小ABCDPEF14.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；ABCDFEM参考答案1.解:（I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，又AM∥CD∥EF，且AM=EF，证得AEFM是矩形，故AM⊥MF.又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，而MF∥AE，得MF⊥面PCD，故MF⊥PC，因此MF是AB与PC的公垂线.（II）解：连结BD交AC于O，连结BE，过O作BE的垂线OH，垂足H在BE上.易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，又OH⊥BE，故OH//DE，因此OH⊥面MAE.连结AH，则∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角设AB=a，则PA=3a，aACAO2221.因Rt△ADE~Rt△PDA，故中从而在AHORtaEDOHaaaaPDADED.10221,10)3(2222.10520122102sinaaAOOHHAO2.解:（Ⅰ）105；（Ⅱ）略.3.解:（I）证明：如图1DABSC图1底面ABCD是正方形BCDCSD底面ABCDDC是SC在平面ABCD上的射影由三垂线定理得BCSC（II）解：SD底面ABCD，且ABCD为正方形可以把四棱锥SABCD补形为长方体ABCSABCD111，如图2面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角，SCBCBCASSCAS，//11又SDAS1CSD为所求二面角的平面角在RtSCB中，由勾股定理得SC2在RtSDC中，由勾股定理得SD1CSD45即面ASD与面BSC所成的二面角为45C1CADBA1SB1图2BAD...
