第1章函数、极限与连续1．7极限存在准则两个重要极限习题解11．计算下列极限：⑴0tan3limxxx；【解】这是“00”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin()lim1()fxfxfx：为将tan3x化出sin3x，利用sin3tan3cos3xxx，得：0tan3limxxx0sin33lim3cos3xxxx313cos0。⑵1limsinxxx；【解】由于1limsinxxsin00，这是“0”型极限，应化为商式极限求解：1limsinxxx101sinlim1xxx，这又成为了“00”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin()lim1()fxfxfx：101sinlim11xxx，亦即1limsin1xxx。⑶0limcotxxx；【解】由于0limcotxx，这是“0”型极限，应化为商式极限求解：0limcotxxx0limtanxxx，这又成为了“00”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin()lim1()fxfxfx：同样利用sintancosxxx，得：00limlimcostansinxxxxxxx1cos01，亦即0limcot1xxx。第1章函数、极限与连续1．7极限存在准则两个重要极限习题解2⑷01cos2limsinxxxx；【解】这是“00”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin()lim1()fxfxfx：为将1cos2x化出正弦函数，利用2cos212sinxx，得：01cos2limsinxxxx202sinlimsinxxxx0sin2limxxx212。⑸sinlimxxx；【解】这是“00”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin()lim1()fxfxfx：由于不可能将x转化为x，应考虑利用诱导公式，将sinx转换为sin()x，得：sinlimxxx0sin()limxxx1。⑹0lim1cosxxx；【解】这是“00”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin()lim1()fxfxfx：为将根号去掉，并将余弦函数转化为正弦函数，可利用2cos12sin2xx，得：0lim1cosxxx02lim2sin2xxx01lim2sin2xxx01lim2sin2xxx022lim2sin2xxx2122。⑺0sinlimsinxxxxx；【解】这是“00”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin()lim1()fxfxfx：0sinlimsinxxxxx0sin1limsin1xxxxx11011。第1章函数、极限与连续1．7极限存在准则两个重要极限习题解3⑻lim2sin2nnnx（x为不等于零的常数）。【解】由于limsin2nnxsin00，知lim2sin2nnnx属于“0”型极限，应化为商式极限求解：lim2sin2nnnxsin2lim12nnnxsin2lim2nnnxxx1xx。2．计算下列极限：⑴10lim(1)xxx；【解】这是“1”型极限，可考虑套用极限公式1()()0lim[1()]fxfxfxe：10lim(1)xxx1(1)0lim[1()]xxx110lim{[1()]}xxx1e。⑵21lim()xxxx；【解】这是“1”型极限，可考虑套用极限公式1()()0lim[1()]fxfxfxe：21lim()xxxx21lim[(1)]xxx2e。⑶1lim(1)kxxx（kN）；【解】这是“1”型极限，可考虑套用极限公式1()()0lim[1()]fxfxfxe：1lim(1)kxxx()1lim(1)xkxx1lim[(1)]xkxxke。⑷3lim()1xxxx；【解】这是“1”型极限，可考虑套用极限公式1()()0lim[1()]fxfxfxe：【解法一】3lim()1xxxx12lim()1xxxx12lim()()11xxxxxx1(1)211lim(1)()11xxxxx112111lim[(1)]()111xxxx第1章函数、极限与连续1．7极限存在准则两个重要极限习题解41211ee。【解法二】3lim()1xxxx31lim()11xxx31lim1(1)xxx31lim11(1)(1)xxxx111ee。⑸10lim(1)xxxxe；【解】这是“1”型极限，可考虑套用极限公式1()()0lim[1()]fxfxfxe：10lim(1)xxxxe10lim(1)xxexxexxe10lim[(1)]xxxexexxe0eee。⑹lim()xxxaxa（aR）.【解】这是“1”型极限，可考虑套用极限公式1()()0lim[1()]fxfxfxe：【解法一】lim()xxxaxalim()xaaxxaxalim()()xaaxxaxaxaxa222lim(1)()xaaaaxaxaxaxa2212lim[(1)]()1xaaaaxaaxaxax210()10aae2ae。【解法二】lim()xxxaxa1lim()1xxaxax(1)lim(1)xxxaxax()(1)lim(1)xaaxxaaaxax[(1)]lim[(1)]xaaxxaaaxax2aaaeee。3．已知2lim()3xxxcxc，求常数c.【解】先求出2lim()xxxcxc，这有如下两种解法：第1章函数、极限与连续1．7极限存在准则两个重要极限习题解5【解法一】2lim()xxxcxc()222lim(1)xccccxcxc2222lim[(1)](1)xccccxccxcxc21ccece。【解法二】由于2lim()xxxcxc21lim()1xccxcxcx2(1)lim[](1)xccxxccxcx21(1)lim[][(1)]xccxxccxcx2221[][]ccceeee即由已知得3ce，从而知ln3c。4．利用极限存在准则证明：⑴222111lim()12nnnnnnL；【证明】由于在括号内的n个分式中，分母最大的是2nn，最小的是2n，因此这n个分式中最小的是21nn，最大的是21n，从而有222221112nnnnn...
