中考二次函数的存在性问题全总结【典例分析】【考点1】二次函数与相似三角形问题【例1】已知抛物线23yaxbx与x轴分别交于(3,0)A，(1,0)B两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设AFkAD，当k为何值时，2CFAD1.②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．【答案】（1）223yxx，D的坐标为(1,4)；（2）①12k；②以A，F，O为顶点的三角形与ABC相似，F点的坐标为618,55或(2,2)．【解析】(1)将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D(1,4)；(2)①由A、C、D三点的坐标求出AC32，DC2，AD25，可得ΔACD为直角三角形，若1CFAD2，则点F为AD的中点，可求出k的值；②由条件可判断DACOBC，则OAFACB，若以A，F，O为顶点的三角形与ΔABC相似，可分两种情况考虑：当AOFABC或AOFCAB45时，可分别求出点F的坐标．【详解】(1)Q抛物线2yaxbx3过点A(3,0)，B(1,0)，933030abab，解得：12ab，抛物线解析式为2yx2x3；22yx2x3x14Q，顶点D的坐标为(1,4)；(2)①Q在RtΔAOC中，OA3，OC3，222ACOAOC18，D1,4Q，C0,3，A3,0，222CD112，222AD2420，222ACCDAD，ΔACD为直角三角形，且ACD90，1CFAD2Q，F为AD的中点，AF1AD2，1k2；②在RtΔACD中，DC21tanACDAC332，在RtΔOBC中，OB1tanOCBOC3，ACDOCB，OAOCQ，OACOCA45，FAOACB，若以A，F，O为顶点的三角形与ΔABC相似，则可分两种情况考虑：当AOFABC时，ΔAOFΔCBA∽，OFBCP，设直线BC的解析式为ykxb，03kbb，解得：33kb，直线BC的解析式为y=3x+3，直线OF的解析式为y=3x，设直线AD的解析式为y=mx+n，430kbkb，解得：26kb，直线AD的解析式为y=2x6，263yxyx，解得：65185xy，618F,55．当AOFCAB45时，ΔAOFΔCAB∽，CAB45Q，OFAC，直线OF的解析式为y=x，26yxyx，解得：22xy，F2,2，综合以上可得F点的坐标为618,55或(2,2)．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．【变式1-1】如图，抛物线2y2axxc经过(1,0)A，B两点，且与y轴交于点(0,3)C，抛物线与直线1yx交于A，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）坐标轴上是否存在一点Q，使得AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．（3）P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与ABE相似，求点P的坐标．【答案】（1）2yx2x3；（2）存在，40Q，或04，，理由见解析；（3）3p05，或9p02，．【解析】（1）将A、C的坐标代入2y2axxc求出a、c即可得到解析式；（2）先求出E点坐标，然后作AE的垂直平分线，与x轴交于Q，与y轴交于Q'，根据垂直平分线的性质可知Q、与A、E，Q'与A、E组成的三角形是以AE为底边的等腰三角形，设Q点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)，根据距离公式建立方程求解即可；（3）根据A、E坐标，求出AE长度，然后推出∠BAE=∠ABC=45°，设p0m，，由相似得到PBABBCAE或PBAEBCAB，建立方程求解即可．【详解】（1）将(1,0)A，(0,3)C代入2y2axxc得：203acc，解得13ac∴抛物线解析式为2y23xx（2）存在，理由如下：联立y1x和2yx2x3，2y123xyxx，解得10xy或45xy∴E点坐标为(4,-5)，如图，作AE的垂直平分线，与x轴交于Q，与y轴交于Q'，此时Q点与Q'点的坐标即为所求，设Q点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)，由QA=QE，Q'A=Q'E得：221405xx，2222010045yy解得4x，4y故Q点坐标为40，或04，（3） (1,0)A，45E，∴22145=52AE，当2230xx时，解得1x或3∴B点坐标为(3,0)，∴3OBOC∴45ABC，4AB，32BC，由直线1yx可得AE与y轴的交点为(0,-1)，而A点坐标为(-1,0)∴∠BAE=45°设p0m，则3mBP， PBC和ABE相似∴PBABBCAE或PBAEBCAB，即343252m或352432m解得35m或92m，∴3p05，或9p02，．【点睛】本题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质是解题的关键．【变式1-2】如图，已知抛物线1(...
