K型图（垂直处理）一线三等角例1：在等边中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且，，则的边长为（）A.9B.12C.15D.18【解答】A【解析】是等边三角形，例2：如图，已知点A（0，4）、B（4，1），轴于点C，点P为线段OC上一点，且，则点P的坐标为.DCABExyCABPO【解答】（2，0）【解析】例3：已知，在矩形ABCD中，，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）.连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E，如图所示。设，.（1）写出与之间的函数关系式；（2）若点E与点A重合，则的值为；（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点落在边AB上？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解答】（1）；（2）；（3）存在.【解析】（1）EMCBDAP.（2），.（3）存在，理由如下：过点P作于点H，如下图所示，∵点D关于直线PE的对称点落在边AB上，，，HEMCBDAP①此时，点E在边AD的延长线上，点D关于直线PE的对称点不可能落在边AB上，所以舍去；②此时，点E在边AD上，符合题意，所以，点D关于直线PE的对称点落在边AB上.例4：探究与应用:在学习几何时,我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化例如在相似三角形中，K字形是非常重要的基本图形,可以建立如下的“模块”（如图1），.（1）请就图1证明上述“模块”的合理性；（2）请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题：①如图2，已知点，点B在直线上运动，若，求此时点B的坐标；②如图3，过点作轴与轴的平行线，交直线于点C、D，求点A关于直线CD的对称点E的坐标.【解答】（1）见解析；（2）①，②.xyxy图3图2图1BOEDCAOADBCEA（1）证明：（2）①作轴，轴，如图所示：设点.②过点E作轴，作，延长AC交MN于N，如图所示：xyHGBOAxyMNEDCAO设，由题意得代入可得方程组，解得，.巩固练习1.如图所示，在等边中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且，，则等边的面积为（）A.B.15C.D.【解答】C【解析】是等边三角形，设，则，ECABD，过点A作于点F，如图所示：在中，，.2.如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则的周长为.【解答】12【解析】设，则，由折叠性质可得，在中，由勾股定理可得，解得，FECABDGFQEDCABH解得，在中，由勾股定理可得的周长.3.如图，直线交轴于点A，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰好落在上，若N点在第二象限内，则的值为.【解答】【解析】过点O作于点C，过点N作于点D，如图所示：在直线上，设，则xyAONMxyDCAONM当时，，当时，，，即，在中，由勾股定理得，由面积公式可得，即，解得，在中，在中，由勾股定理可得，即，解得，又在第二象限，只能取，，即，.4.已知：在矩形AOBC中，分别以OB、OA所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，E是边AC上的一个动点（不与A、C重合），过点E的反比例函数的图像与BC边交于点F.（1）若且，求的值；（2）若，记，问当点E运动到什么位置时，S有最大值？最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点E，使得将沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】（1）；（2）当点E运动到AC的中点时，有最大值，最大值为3；（3）存在符合条件的点E，它的坐标是.【解析】（1）点E、F在函数的图像上，设，，，；（2）由题意可知，，，，xyFCABOE，当时，S有最大值，，此时，即点E运动到AC的中点；（3）设存在这样的点E，将沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作于点N，如图所示：由题意可得，又，，即即解得，，存在符合条件的点E，它的坐标是.xyNMFCABOE
