大题考法专训（六）圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题A级——中档题保分练1．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，上顶点M到直线3x＋y＋4＝0的距离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l过点(4，－2)，且与椭圆C相交于A，B两点，l不经过点M，证明：直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值．解：(1)由题意可得，e＝ca＝32，|b＋4|2＝3，a2＝b2＋c2，解得a＝4，b＝2，所以椭圆C的方程为x216＋y24＝1.(2)证明：易知直线l的斜率恒小于0，设直线l的方程为y＋2＝k(x－4)，k＜0且k≠－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y＋2＝kx－4，x216＋y24＝1，得(1＋4k2)x2－16k(2k＋1)x＋64k(k＋1)＝0，则x1＋x2＝16k2k＋11＋4k2，x1x2＝64kk＋11＋4k2，因为kMA＋kMB＝y1－2x1＋y2－2x2＝kx1－4k－4x2＋kx2－4k－4x1x1x2，所以kMA＋kMB＝2k－(4k＋4)×x1＋x2x1x2＝2k－4(k＋1)×16k2k＋164kk＋1＝2k－(2k＋1)＝－1(为定值)．2．(2019·济南模拟)已知抛物线C1：y2＝2px(p＞0)与椭圆C2：x24＋y23＝1有一个相同的焦点，过点A(2,0)且与x轴不垂直的直线l与抛物线C1交于P，Q两点，P关于x轴的对称点为M.(1)求抛物线C1的方程；(2)试问直线MQ是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：(1)由题意可知，抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为(1,0)，所以p＝2，所以抛物线C1的方程为y2＝4x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，因为点P与点M关于x轴对称，所以y3＝－y1，设直线PQ的方程为x＝ty＋2，代入y2＝4x得，y2－4ty－8＝0，所以y1y2＝－8，设直线MQ的方程为x＝my＋n，代入y2＝4x得，y2－4my－4n＝0，所以y2y3＝－4n，因为y3＝－y1，所以y2(－y1)＝－y1y2＝－4n＝8，即n＝－2，所以直线MQ的方程为x＝my－2，必过定点(－2,0)．3．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为12，短轴长为23.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于G，H两点(G在M，H之间)，设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P(m,0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知，得ca＝12，b＝3，c2＝a2－b2，解得a＝2，b＝3，c＝1，所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(2)设直线l的方程为y＝kx＋2(k＞0)，联立y＝kx＋2，x24＋y23＝1消去y并整理得，(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，由Δ＞0，解得k＞12.设G(x1，y1)，H(x2，y2)，则y1＝kx1＋2，y2＝kx2＋2，x1＋x2＝－16k4k2＋3.假设存在点P(m,0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形，则PG―→＋PH―→＝(x1＋x2－2m，k(x1＋x2)＋4)，GH―→＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1，k(x2－x1))，(PG―→＋PH―→)·GH―→＝0，即(1＋k2)(x1＋x2)＋4k－2m＝0，所以(1＋k2)·－16k4k2＋3＋4k－2m＝0，解得m＝－2k4k2＋3＝－24k＋3k.因为k＞12，所以－36≤m＜0，当且仅当3k＝4k时等号成立，故存在满足题意的点P，且m的取值范围是－36，0.B级——拔高题满分练1．(2019·开封模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，△MF1F2为等腰直角三角形，且其面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定点．解：(1)由题意得12a2＝1，∴a＝2，又b＝c，a2＝b2＋c2，∴b＝1，∴椭圆C的方程为x22＋y2＝1.(2)证明：由(1)得M(0,1)．当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)，由k1＋k2＝2得y0－1x0＋－y0－1x0＝2，得x0＝－1.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由x22＋y2＝1，y＝kx＋m，可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，则Δ＝8(2k2－m2＋1)＞0，x1＋x2＝－4km1＋2k2，x1·x2＝2m2－21＋2k2.由k1＋k2＝2，得y1－1x1＋y2－1x2＝2，即kx2＋m－1x1＋kx1＋m－1x2x1x2＝2，(2－2k)x1x2＝(m－1)(x1＋x2)，(2－2k)(2m2－2)＝(m－1)(－4km)，由m≠1，得(1－k)(m＋1)＝－km，∴m＝k－1，即y＝kx＋m＝kx＋k－1＝k(x＋1)－1，故直线AB过定点(－1，－1)，经检验，当k＞0或k＜－2时，直线AB与椭圆C有两个...
