微分中值定理与导数应用复习题一、选择题1．下列函数在区间1,e内满足拉格朗日定理条件的是（）（A）y=ln(lnx)（B）y=ln(2x)（C）y=lnx（D）y=1lnx有三个实根有两个实根有唯一实根无实根内，在方程)()()()()()10(013.23DCBAxx之值为则常数处有极值在已知2,0)(3,0)(1,1)(1,2)()(,,21)(.323baDbaCbaBbaAbaxbxaxxxf4.点(0,1)是cbxaxy23的拐点,则()（A）1,3,1cba（B）a为任意值,1,0cb（C）cba,0,1为任意值（D）ba,为任意值,1c5.极限sinlimsinxxxxx=();(A)1(B)0(C)-1(D)不存在6.函数2()1xfxx（）（A）在,上单调减少（B）在,上单调增加（C）在1,1内单调减少（D）在1,1内单调增加)1()()1()()1()1()()()()()1ln(.72，仅为，仅为，，，的向下凸的区间是曲线DCBAxy8.0x是函数4xy的()(A)驻点但非极值点(B)拐点(C)驻点且是拐点(D)驻点且是极值点01)(0)(0)(00)()(ln.9xyDxCyBxyAxxy及而无水平渐近线而无垂直渐近线及的渐近线是曲线10.当x>0时，xe与1+x的大小关系是（）(A)xe>1+x(B)xe<1+x(C)xe1+x（D）xe1+x1.C2.B3.C4.B5.A6.C7.A8.D9.A10.A二填空题不满足其原因是由于论上不具有罗尔定理的结在函数)(,]1,1[1)(.132xfxxf。2.在中的满足拉格朗日中值定理上，函数21)(]3,1[xxf._______3.),3)(2)(1()(xxxxxf则方程0)(xf有__________个实根，分别位于区间______________________________内。4.5..____________lim2xxexx6.____________________的严格递减区间是xxy._________________63)(.723的极大值为xxxf_____________20cos2.8上的最大值为，在区间函数xxy___________1ln.92上的一段凸性的是，在区间关于曲线eexxy________________.102的拐点是曲线xey________________)()20(sinln.11处的曲率为，在点曲线yxxxy12.曲线11xey的渐近线的方程为_______________;1.2.13.3,[0,1],[1,2],[2,3]4.235.06.)(410写开区间也可以，7.8.9.向上凸10.),1(2e11.xsin12.0,0yx三、计算题xxeexxxcos13lim.120求极限.)cos1ln(lnlim.20xxx求极限xxx2tan)1(lim.31求极限)1(cotlim.40xxx.lim.5)1ln(10xexx求极限)1ln(lnlimln00)1ln(1limxxxeexxxee解：原式11lim)1ln(lnlim00xxxxxeexex6、.)(coslim10xxx求极限xxxxxxeecoslnlim)ln(cos001lim:原式解xxxxxxx21cossinlimcoslnlim00xxxxcos110sinlim.7求极限xxxxxIneexxxxxInxxxInxxxxcos1sinlnlimsinlimlimlim:0cos110sinlim0sin0cos110cos11则原式解的单调区间求函数)1(4)3(.82xxy解：2)1(4)3)(1(xxxyx－1(－1,1)(1,3)3y/+0－－0+y↑↓↓↑311131，，，单调减区间为，，，故函数的单调增区间为的极值求函数34.9xxy34)4(3)3(432xxxxy求得驻点：x3(3,4)4y’－0+不存在+y↓↑↑313)3(3y函数仅有极小值的渐近线求曲线32)1(2.10xxy2)1(2lim)21(lim21)1(2limlim1)1(2lim)1(2232223123xxxxybxxxyaxxxxxyxxxxx是所求的一铅直渐近线解：1)1(2)2(lim2233xxxxxx处的曲率与曲率半径。，在点求曲线)14(tan.11xy解：2)2(sec242xyxy554)41(4)1(232324yykx4551Rk12.求函数yln(x21)图形的拐点及凹或凸的区间解：122xxy22222)1()1)(1(2)1(22)1(2xxxxxxxy令y0得x11x21列表得可见曲线在(1)和[()内是向凸上的在(11)内是向下凸的拐点为(1ln2)和(1ln2)上的最值，在求2301434)(.133xxxf解：0,0)(xxf得驻点令211234)827(34)23(351434)1(1)0(fff14问a、b为何值时点(13)为曲线yax3bx2的拐点？解y3ax22bxy6ax2b因为函数yax3bx2二阶可导，要使(13)成为曲线yax3bx2的拐点必须y(1)3且y(1)0即ab3且6a2b0解此方程组得23a29b四、应用题?,,.1可使表面积最小为多少时及底半径高的圆柱形闭合容器容积为rhV解：22202222rVhrrrVrrhA其中表面积x(1)1(11)1(1)y00y向上凸ln2拐点向下凸ln2拐点向上凸044242313121rVAVrrrvArr唯一驻点时表面积最小，故当33222VhVr才使盒子的容积最大问小方块的边长为多少方盒子作成一个无盖的方块从四个角截去同样的小的正方形铁皮设有一块边长为,,,.2a20,44)2(,322axaxxaxxaxVx则盒子的容积为解：设小方块的边长为04)824(66aaxVaxax容积最大盒子的时所以小方块边长为也是最大值为极大值点即,6,,6aax五、证明题1证明方程x5x10只有一个正根证明设f(x)x5x1则f(x)是[01]内的连续函数因为f(0)1f(1)1f(0)f(1)<0所以方程x5x10在(01)内至少有一个根即x5x10至少有一个正根假如方程至少有两个正根21,xx则f(x)在],[21xx上满足罗尔定理的条件。由罗尔定理在),(21xx至少存在一个，使得f(x)=0。但f(x)5x410矛盾这说明方程只能有一个正根.1,012arctanarctan2.22时成立在证明恒等式xxxx3、4xxxeex10时，试证明：当。上连续，在证：令0)(1)1()(xfexxfx有对一切上严格递增。，在处连续，所以在因为00)(0)(xxfxxfxxexeexxx1ln1故有即有5.证明：2ln)(lnlnyxyxyyxx(x0y0xy)证明：设f(t)tlnt则f(t)lnt1ttf1)(因为当t>0时f(t)>0所以函数f(t)tlnt的图形在(0)内是向下凸的由定义对任意的x>0y>0xy有)2()]()([21yxfyfxf即2ln)(lnlnyxyxyyxx
