1/7用向量方法求空间角和距离在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题．1求空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角．（１）求异面直线所成的角设a、b分别为异面直线a、b的方向向量,则两异面直线所成的角=arccos||||||abab（２）求线面角设l是斜线l的方向向量，n是平面的法向量，则斜线l与平面所成的角=arcsin||||||lnln（３）求二面角法一、在内al，在内bl，其方向如图，则二面角l的平面角=arccos||||abab法二、设12,,nn是二面角l的两2/7个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l的平面角=1212arccos||||nnnn2求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求．（１）求点面距离法一、设n是平面的法向量，在内取一点B,则A到的距离|||||cos|||ABndABn法二、设AO于O,利用AO和点O在内的向量表示，可确定点O的位置，从而求出||AO．（２）求异面直线的距离法一、找平面使b且a，则异面直线a、b的距离就转化为直线a到平面的距离，又转化为点A到平面的距离．法二、在a上取一点A,在b上取一点B,设a、b分别为异面直线a、b的方向向量,求n（na，nb），则异面直线a、b的距离|||||cos|||ABndABn（此方法移植于点面距离的求法）．3/7例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCDABCD中，E、F分别是棱1111,ADAB的中点．（Ⅰ）求异面直线1DEFC与所成的角；（II）求1BC和面EFBD所成的角；（III）求1B到面EFBD的距离解：（Ⅰ）记异面直线1DEFC与所成的角为，则等于向量1DEFC与的夹角或其补角，（II）如图建立空间坐标系Dxyz，则(1,0,2)DE，(2,2,0)DB设面EFBD的法向量为(,,1)nxy由00DEnDBn得(2,2,1)n又1(2,0,2)BC记1BC和面EFBD所成的角为则1112sin|cos,|||2||||BCnBCnBCn∴1BC和面EFBD所成的角为4．（III）点1B到面EFBD的距离ｄ等于向量1BB在面EFBD的法向量上的投影的绝对值，1||||BBndn1311||||111111cos||()()||||||222||,arccos5555DEFCDEFCDDDEFBBCDEFC4/7设计说明：１．作为本专题的例１，首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体―――正方体为载体，来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解．２．解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下：如果用传统方法恐怕很难（不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求）．３．完成这３道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证明平行、垂直（是前者的特殊情况），都可用向量方法来解决，向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧．例2．如图，三棱柱中，已知ABCD是边长为1的正方形，四边形BBAA是矩形，。平面平面ABCDBBAA（Ⅰ）若AA＝１，求直线AB到面'DAC的距离．（II）试问：当AA的长度为多少时，二面角ACAD的大小为？60解：（Ⅰ）如图建立空间坐标系Axyz，则'(1,1,)DAa(0,1,0)DC设面'DAC的法向量为1(,,1)nxy则'1100DAnDCn得1(,0,1)na直线AB到面'DAC的距离ｄ就等于点Ａ到面'DAC的距离，也等于向量AD在面'DAC的法向量上的投影的绝对值，11||22||ADndn5/7（II）易得面'AAC的法向量211(,,0)22n向量12,nn的夹角为60由1212212112cos,2||||212annnnnna得1a当AA＝１时，二面角ACAD的大小为60．设计说明：１．通过（Ⅰ），复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量（法向量）投影的绝对值的解题思路与方法．２．通过（II），复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况．例３．正三棱柱111ABCABC的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱1AA上任意一点．（Ⅰ）求证：直线1BP不可能与平面11ACCA垂直；（II）当11BCBP时，求二面角11CBPC的大小．证明：（Ⅰ）如图建立空间坐标系Oxyz，设APa则1,,,ACBP的坐标分别为(0,1,0),(0,1,0),(3,0,2)(0,1,)a1(0,2,0),(3,1,2)ACBPa120...
