新北师大版初一数学平方差和完全平方公式2平方差和完全平方公式及其应用一、知识梳理1.平方差公式：公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。即：22()()ababab特征：左边：两个二项式的积，其中一项相同，另一项互为相反数右边：相同一项的平方减去互为相反数一项的平方。注意：A．找符合公式特征的才能运用公式B．公式中a、b具有广泛性C．公式的逆用：22()()abababD．注意公式的变形。添括号：括号前面是“+”，括到括号内的各项不变号，括号前面是“-”，括到括号内的各项全部变号。即：()abcabc；()abcabc2.完全平方公式：公式：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数乘积的二倍。即：222()2()abaabb完全平方和公式222()2()abaabb完全平方差公式特征：左边：两个数和（或差）的平方3右边：是一个三项式，其中两项为两数的平方且符号相同，另一项为这两数积的二倍，且符号与左边相同。完全平方式：一个多项式能改写成平方的形式。3.乘法公式的运用：（1）正向运用：22()()ababab；222()2abaabb（2）逆向运用：22()()ababab；2222()aabbab（3）乘法公式的变式应用：①2222()244()4abaabbabababab②22()()4ababab③2222()()2()ababab；④22()()4ababab⑤2222()()2()2ababababab⑥22()()22ababab；⑦2222111()()2()2aaaaaa⑧2222()222abcabcabbcac⑨2222221[()()()]2abcabbcacabbcac⑩2222221[()()()]2abcabbcacabbcac（3）完全平方公式的非负性：①非负性:2222()0aabbab②最值定理:a、b同号，则：222()abab，当且仅当时ab时，取等。（4）乘法公式的变式应用（拓展）：①33223()33abaababb；②33223()33abaababb③3322()()ababaabb；④3322()()ababaabb二、典例剖析4专题一：平方差公式例1：计算下列各整式乘法。①位置变化(73)(37)xyyx②符号变化(27)(27)mnmn③数字变化98102④系数变化(4)(2)24nnmm⑤项数变化(32)(32)xyzxyz⑥公式变化2(2)(2)(4)mmm◆变式拓展训练◆【变式1】2244()()()()yxxyxyxy5【变式2】22(2)(4)33bbaa【变式3】22222210099989721⋯专题二：平方差公式的应用例2：计算22004200420052003的值为多少？6◆变式拓展训练◆【变式1】22()()xyzxyz【变式2】2301(3021)(3021)【变式3】(25)(25)xyzxyz【变式4】已知a、b为自然数，且40ab，（1）求22ab的最大值；（2）求ab的最大值。专题三：完全平方公式例3：计算下列各整式乘法。①位置变化：22()()xyyx②符号变化：2(32)ab7③数字变化：2197④方向变化：2(32)a⑤：项数变化：2(1)xy⑥：公式变化22(23)(46)(23)(23)xyxyxyxy◆变式拓展训练◆【变式1】224,2abaabb则的值为（）A.8B.16C.2D.4【变式2】（江苏中考）已知221()4.,()_____2ababab则【变式3】（云南中考）已知225.6,xyxyxy则的值为（）A.1B.13C.17D.25【变式4】（烟台中考）已知222(1)()32xxxyxyxy，求的值专题四：完全平方公式的运用例4：已知：4,2xyxy，求：①22xy；②44xy；③2()xy8◆变式拓展训练◆【变式1】2242411310,;xxxxxx已知求①②【变式2】225,2,4xyxyxyxyxy已知满足求的值。三、创新探究（名校、名书、名题、中考、培优、竞赛）1．（杭州市中考题）babbaba,0524a22则2.（“祖冲之杯”邀请赛试题）26(1)xx展开后得1211121110axaxaxa，则121086420_____aaaaaaa93.（江苏省竞赛题）(1)(2)(3)(4)Pxxxx，(1)(2)(3)(4)Qxxxx，则QP的结果为4.（杭州）如果41224|11|abacb，那么cb32a5.(2014七中)如果，则10；．6.（“祖冲之杯”邀请赛试题）n432114321132112111117．（北京市竞赛题）19971997199719972222,,bayxbayxbayx求证：且若8.（2014培优）方数。，则证明是一个完全平若22221996199619951995?a9.（安徽竞赛精选）已知a=123456789，b=123456785，c=123456783，求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值．12
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