..基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式（1）若Rba,，则abba222（2）若Rba,，则222baab2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,Rba，则abba23、基本不等式的两个重要变形（1）若*,Rba，则abba2（2）若*,Rba，则22baab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论..（1）若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）（2）若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）（3）若0ab，则2abba(当且仅当ba时取“=”）（4）若Rba,，则2)2(222babaab（5）若*,Rba，则2211122babaabba特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”6、柯西不等式（1）若,,,abcdR，则22222()()()abcdacbd（2）若123123,,,,,aaabbbR，则有：22222221231123112233()()()aaabbbababab（3）设1212,,,,,,nnaaabb与b是两组实数，则有22212(naaa)22212)nbbb(21122()nnababab【题型归纳】题型一：利用基本不等式证明不等式题目1、设ba,均为正数，证明不等式:ab≥ba112..题目2、已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222题目3、已知1abc，求证：22213abc题目4、已知,,abcR，且1abc，求证：abccba8)1)(1)(1(..题目5、已知,,abcR，且1abc，求证：1111118abc题目6、（新课标Ⅱ卷数学（理）设,,abc均为正数,且1abc,证明:(Ⅰ)13abbcca;(Ⅱ)2221abcbca.题型二：利用不等式求函数值域题目1、求下列函数的值域（1）22213xxy（2）)4(xxy（3）)0(1xxxy（4）)0(1xxxy..题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知2x，求函数42442xxy的最小值；变式1：已知2x，求函数4242xxy的最小值；变式2：已知2x，求函数4242xxy的最大值；..变式3：已知2x，求函数4224xyxx的最大值；练习：1、已知54x，求函数14245yxx的最小值；题目2、已知54x，求函数14245yxx的最大值；题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）题目1、当时，求(82)yxx的最大值；..变式1：当时，求4(82)yxx的最大值；变式2：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。题目2、若02x，求yxx()63的最大值；变式：若40x，求)28(xxy的最大值；..题目3、求函数)2521(2512xxxy的最大值；变式：求函数)41143(41134xxxy的最大值；题型五：巧用“1”的代换求最值问题题目1、已知12,0,baba，求tab11的最小值；..变式1：已知22,0,baba，求tab11的最小值；变式2：已知28,0,1xyxy，求xy的最小值；变式3：已知0,yx，且119xy，求xy的最小值。变式4：已知0,yx，且194xy，求xy的最小值；..变式5：（1）若0,yx且12yx，求11xy的最小值；（2）若Ryxba,,,且1ybxa，求yx的最小值；变式6：已知正项等比数列na满足：5672aaa，若存在两项nmaa,，使得14aaanm，求nm41的最小值；变式7：若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是（）A.245B.285C．5D．6变式8：设0,0.ab若11333abab是与的等比中项，则的最小值为（）．A．14B．1C．4D．8..变式9：已知0ab，且2ab，则213abab的最小值为变式10：已知01x，0a，0b，求221abyxx的最小值.变式11：求183(0)2322xxx的最小值变式12：已知(0,)2，求函数2214()sincosf的最小值变式13：设正实数ba,满足baaba81,2则的最小值为．变式14：【2013天津理】设a+b=2,b>0,则当a=时,1||2||aab取得最小值...变式15：设0,1ab满足2ab，则11aba的最小值为．变式16：已知,abR且21ab，则2214ab的最小值是.题型六：分离换元法求最值（了解）题目1、求函数)1(11072xxxxy的值域；变式：求函数)1(182xxxy的值域；题目2、求函数522xxy的最大值；..变式：求函数941xxy的最大值；题型七：基本不等式的综合应用题目1、已知1loglog22ba，求ba93的最小值题目2、已知0,ba，求abba211的最小值；..变式1：（2010四川）如果0ba，求关于ba,的表达式)(112baaaba的最小值；变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当1,0aa时，函数1)1(logxya的图像恒过定点A，若点A在直线0nymx上，求nm24的最小值；变式3：【2017天津】若,,0abRab，则4441abab的最小值为题目3、已知0,yx，822xyyx，求yx2最小值；变式1：已知0,ba，满足3baab，求ab范围；..变式2：已知0,yx，3121...
