定积分在求极限中的应用1、知识准备绪论微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养.求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格,也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“00”型的极限和“”型极限的.泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念.定积分的概念下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义:定积分:设函数()fx在闭区间,ab上有定义,在闭区间,ab内任意插入n-1个分点将,ab分成n个区间[,]xiixx,记(1,2,,iiixxxinL）,1[,]iixx,作乘积()iifx(称为积分元),把这些乘积相加得到和式1()niiifx(称为积分形式)设max:1ixin,若01lim()niiifx极限存在唯一且该极限值与区是,ab的分法及分点i的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数()fx在,ab上的定积分,记作ba()fxdx,即01()lim()nbaiiifxdxfx.否则称()fx在,ab上不可积.注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号.注2:若()bafxdx存在,区间,ab进行特殊分割,分点i进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理解.注3:定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关,即()()().bbbaaafxdxftdtfudu仔细观察定积分的定义,我们一定会发现定积分的极限有以下两个特征.第一,定积分是无穷项和式的极限,容易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必然趋近于零,否则和式极限不存在.第二,定积分与某一连续函数有紧密的关系,它的一般项受到这一连续函数的约束,它是连续函数在某个区间上进行了无穷的分割,各小区间上任意的函数值与区间长度的乘积的累加.对于极限,大学主要学习了数列的极限和函数的极限.数列的极限是用于解决离散的自然数的相关极限,而函数的极限则主要用于解决连续函数的相关极限.那么就让我们先一一来回忆它们吧！极限的概念数列的极限设na为数列,a为实数,若对任给的正数,总存在正整数N,使得当nN时有||naa,则称数列na收敛于a,实数a称为数列na的极限,并记作limnnaa或()naan.(读作:当n趋于无穷大时,na的极限等于a或na趋于a).由于n限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n写成n,即limnnaa或()naan.若数列na没有极限,则称na不收敛,或称na为发散数列.注1:关于:①的任意性.定义１中的正数的作用在于衡量数列通项na与常数a的接近程度,越小,表示接近得越好;而正数可以任意小,说明na与常数a可以接近到任何程度;②的暂时固定性.尽管有其任意性,但一经给出,就暂时地被确定下来,以便依靠它来求出Ｎ;③的多值性.既是任意小的正数,那么2,3,2等等,同样也是任意小的正数,因此定义１中的不等式||naa中的可用2,3,2等来代替.从而“||naa”可用“||naa”代替;④正由于是任意小的正数,我们可以限定小于一个确定的正数.注2:关于N:①相应性,一般地,N随的变小而变大,因此常把N定义作()N来强调,N是依赖于的;一经给定,就可以找到一个N;②N多值性N的相应性并不意味着N是由唯一确定的,因为对给定的,若100N时能使得当nN时,有||naa,则101N或更大的数时此不等式自然成立.所以N不是唯一的.事实上,在许多场合下,最重要的是N的存在性,而不是它的值有多大.基于此,在实际使用中的N也不必限于自然数,只要N是正数即可;而且把“nN”改为“nN”也无妨.函数的极限设...
