-1-一章习题解答1.1给定三个矢量A、B和C如下：23xyzAeee4yzBee52xzCee求：（1）Aa；（2）AB；（3）ABg；（4）AB；（5）A在B上的分量；（6）AC；（7）()ABCg和()ABCg；（8）()ABC和()ABC。解（1）2222312314141412(3)xyzAxyzeeeAaeeeA（2）AB(23)(4)xyzyzeeeee6453xyzeee（3）ABg(23)xyzeee(4)yzeeg－11（4）由cosAB11111417238ABABg，得1cosAB11()135.5238o（5）A在B上的分量BAAcosAB1117ABBg（6）AC123502xyzeee41310xyzeee（7）由于BC041502xyzeee8520xyzeeeAB123041xyzeee1014xyzeee所以()ABCg(23)xyzeeeg(8520)42xyzeee()ABCg(1014)xyzeeeg(52)42xzee（8）()ABC1014502xyzeee2405xyzeee()ABC1238520xyzeee554411xyzeee-2-1.2三角形的三个顶点为1(0,1,2)P、2(4,1,3)P和3(6,2,5)P。（1）判断123PPP是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。解（1）三个顶点1(0,1,2)P、2(4,1,3)P和3(6,2,5)P的位置矢量分别为12yzree，243xyzreee，3625xyzreee则12214xzRrree，233228xyzRrreee，311367xyzRrreee由此可见1223(4)(28)0xzxyzRReeeeegg故123PPP为一直角三角形。（2）三角形的面积12231223111176917.13222SRRRR1.3求(3,1,4)P点到(2,2,3)P点的距离矢量R及R的方向。解34Pxyzreee，223Pxyzreee，则53PPPPxyzRrreee且PPR与x、y、z轴的夹角分别为115cos()cos()32.3135xPPxPPeRRog113cos()cos()120.4735yPPyPPeRRog111cos()cos()99.7335zPPzPPeRRog1.4给定两矢量234xyzAeee和456xyzBeee，求它们之间的夹角和A在B上的分量。解A与B之间的夹角为1131cos()cos()1312977ABABABogA在B上的分量为313.53277BABABg1.5给定两矢量234xyzAeee和64xyzBeee，求AB在xyzCeee上的分量。解AB234641xyzeee132210xyzeee所以AB在C上的分量为()CAB()2514.433ABCCg1.6证明：如果ABgACg和ABAC，则BC；-3-解由ABAC，则有()()AABAAC，即()()()()ABAAABACAAACgggg由于ABgACg，于是得到()()AABAACgg故BC1.7如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，pAXg而PAX，p和P已知，试求X。解由PAX，有()()()()pAPAAXAXAAAXAAAXggg故得pAAPXAAg1.8在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,,3)3定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。解（1）在直角坐标系中4cos(23)2x、4sin(23)23y、3z故该点的直角坐标为(2,23,3)。（2）在球坐标系中22435r、1tan(43)53.1o、23120o故该点的球坐标为(5,53.1,120)oo1.9用球坐标表示的场225rrEe，（1）求在直角坐标中点(3,4,5)处的E和xE；（2）求在直角坐标中点(3,4,5)处E与矢量22xyzBeee构成的夹角。解（1）在直角坐标中点(3,4,5)处，2222(3)4(5)50r，故22512rrEe1332cos22052xxrxEeEEg（2）在直角坐标中点(3,4,5)处，345xyzreee，所以233452525102xyzrreeerE故E与B构成的夹角为1119(102)cos()cos()153.632EBEBEBogg1.10球坐标中两个点111(,,)r和222(,,)r定出两个位置矢量1R和2R。证明1R和2R间夹角的余弦为121212coscoscossinsincos()解由111111111sincossinsincosxyzrrrReee222222222sincossinsincosxyzrrrReee-4-得到1212cosRRRRg1122112212sincossincossinsinsinsincoscos121211212sinsin(coscossinsin)coscos121212sinsincos()coscos1.11一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：(3sin)drSeSg?的值。解(3sin)d(3sin)drrrSSSeSeegg蜒22200d3sin5sind751.12在由5r、0z和4z围成的圆柱形区域，对矢量22rzrzAee验证散度定理。解在圆柱坐标系中21()(2)32rrzrrrzAg所以425000ddd(32)d1200zrrrAg又2d(2)(ddd)rzrrzzSSrzSSSASeeeeegg蜒42522000055dd24dd1200zrr故有d1200AgdSASg?1.13求（1）矢量22222324xyzxxyxyzAeee的散度；（2）求Ag对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。解（1）2222232222()()(24)2272xxyxyzxxyxyzxyzAg（2）Ag对中心在原点的一个单位立方体的积分为12121222221212121d(2272)ddd24xxyxyzxyzAg（3）A对此立方体表面的积分12121212221212121211d()dd()dd22SyzyzASg?12121212222212121212112()dd2()dd22xxzxxz121212122232231212121211124()dd24()dd2224xyxyxyxy-5-故有1d...
