智浪教育—普惠英才文库1—1代数式的恒等变换方法与技巧一、代数式恒等的一般概念定义1在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。定义2如果两个代数式A、B，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B。两个代数式恒等的概念是相对的。同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但在另一个子集内可能不恒等。例如，2xx，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。定义3把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。代数式的变形，可能引起定义域的变化。如lgx2的定义域是(,0)(0,)U，2lgx的定义域是(0,)，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)内，才有恒等式lgx2=2lgx。由lgx2变形为2lgx时，定义域缩小了；反之，由2lgx变形为lgx2时，定义域扩大了。这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。例1：设p为实常数，试求方程2221xpxx有实根的充要条件，并求出所有实根。由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。这样可避免增根和遣根的出现。解：原方程等价于22222(21)210,0xpxxxxx2222222(4)41448(2)441330440,0pxxxxppxxxxpx222(4)8(2)44,043pxppxx由上式知，原方程有实根，当且仅当p满足条件24(4)44048(2)33pppp这说明原方程有实根的充要条件是403p。这时，原方程有惟一实根48(2)pxp。二、恒等变换的方法与技巧恒等变换的目的是使问题变得简单，便于求解。因此，式的恒等变换是根据需要进行的，根据不同问题的特点，有其不同的规律性。1．分类变换当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。智浪教育—普惠英才文库例1：当x取什么样的实数值时，下列等式成立：（a）21212xxxx；（b）21211xxxx；（c）21212xxxx。解：我们来求解更一般的方程：2121(0)xxxxmm记方程左边为f(x)，则11()(212221)(212211)22fxxxxx221,122|211||211|1222,12xxxx由此可知，当2m时，原方程的解集为1[,1]2；当[0,2)m时，解集为；当(2,)m时，原方程变形为221xm，解得21(2)4xm。即当(2,)m时，原方程的解集为21{(2)}4m。例2：在复数范围内解方程组2225553,3,3.xyzxyzxyz解：考虑数列*,nnnnaxyznN。不难证明此数列满足递推式321()()nnnnaxyzaxyyzzxaxyza，其中1253,3aaa。利用基本恒等式，得2121()32xyyzzxaa，312311[()]33xyzaaaxyyzzxa，∴{}na的递推式化为*3213133,3nnnnaaaaanN由此得432313543323113349,33102733aaaaaaaaaaaa由53a，得310273a，∴33a。∴3113xyza。综上所述知，原方程组等价于3,3,1.xyzxyyzzxxyz由韦达定理知，x，y，z是关于t的三次方程333310ttt的三根，此三次方程即3123(1)0,1tttt，这说明原方程组在复数范围内的解集为{（1，1，1）}。智浪教育—普惠英才文库注：此题还可以利用三次单位根1322i的性质来解。2．利用对称性定义4一个n元解析式12(,,,)nfxxxL称为对称式，当且仅当对于任意的i，(1)jijn都有11(,,,,,,)(,,,,,,)ijnjinfxxxxfxxxxLLLLLL。由定义可知，对称式的各变元所处的地位相同，因此，一个对称式12(,,,)nfxxxL具有下列性质：（1）若对于变元x1，x2，f具有性质p，则对于任意的变元,,ijxxf也具有性质p。（2）对于x1，x2，⋯，xn的任意排12,,,iiinxxxL，有1212(,,,)(,,,)iiinnfxxxfxxxLL，因此，对于讨论f具有某一性质时，可不妨设12nxxxL。定义5一个n元解析式称为轮换对称式，当且仅当x2代x1，x3代x2，⋯，xn代xn-1，x1代xn时有12231(,,,)(,,,,)nnfxxxf...
