第1页/共12页第18课时坐标系中的动点问题(50分)一、填空题(每题10分||，共20分)1．[2019·泰州]如图6－2－1||，在平面内||，线段AB＝6||，P为线段AB上的动点||，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P||，且满足PC＝PA||，若点P沿AB方向从点A运动到点B||，则点E运动的路径长为__62__．图6－2－1第1题答图【解析】如答图||，E点运动的轨迹与C点运动的轨迹相同||，C点运动的路径长是62＋62＝62||，故答案是62.2．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图6－2－2所示||，顶点B(2||，0)||，∠DOB＝60°||，P是对角线OC上一个动点||，E(0||，－1)||，当EP＋BP最短时||，点P的坐标为__()23－3，2－3__．图6－2－2第2题答图【解析】如答图||，连结DE交OC于点P||，则点P满足EP＋BP最短．延长CD交y轴于点F||，则CF⊥y轴||， 四边形OBCD是菱形||，∴OD＝CD＝OB＝2||， ∠DOB＝60°||，则∠DOF＝30°||，∴DF＝1||，OF＝3||，∴D(1||，3)||，C(3||，3)．设直线DE的解析式为y＝kx－1||，将点D坐标代入||，则k－1＝3||，∴k＝3＋1||，则y＝(3＋1)x－1||，设直线OC的表达式为y＝mx||，将点C坐标代入||，则3m＝3||，∴m＝33||，则y＝33x||，由y＝（3＋1）x－1，y＝33x，第2页/共12页解得x＝23－3，y＝2－3，∴点P的坐标为(23－3||，2－3)．二、解答题(共30分)3．(15分)[2019·长沙]如图6－2－3||，直线l：y＝－x＋1与x轴||，y轴分别交于A||，B两点||，P||，Q是直线l上的两个动点||，且点P在第二象限||，点Q在第四象限||，∠POQ＝135°.(1)求△AOB的周长；(2)设AQ＝t＞0||，试用含t的代数式表示点P的坐标；(3)当动点P||，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时||，记tan∠AOQ＝m||，若过点A的二次函数y＝ax2＋bx＋c同时满足以下两个条件：①6a＋3b＋2c＝0；②当m≤x≤m＋2时||，函数y的最大值等于2m||，求二次项系数a的值．解：(1)在函数y＝－x＋1中||，令x＝0||，得y＝1||，∴B(0||，1)||，令y＝0||，得x＝1||，∴A(1||，0)||，则OA＝OB＝1||，AB＝2||，∴△AOB的周长为1＋1＋2＝2＋2；(2) OA＝OB||，∴∠ABO＝∠BAO＝45°||，∴∠PBO＝∠QAO＝135°||，∴∠BPO＝∠OBA－∠POB＝45°－∠POB||，∴∠AOQ＝∠POQ－∠BOA－∠POB＝45°－∠POB||，即∠BPO＝∠AOQ||，∴△PBO∽△OAQ||，图6－2－3第3页/共12页∴PBOA＝OBAQ||，∴PB＝OA·OBAQ＝1t||，如答图||，过点P作PH⊥OB于点H||，则△PHB为等腰直角三角形． PB＝1t||，∴PH＝HB＝22t||，∴P－22t，1＋22t；(3)由(2)可知△PBO∽△OAQ||，若它们的周长相等||，则相似比为1||，即全等||，∴PB＝OA||，∴1t＝1||，∴t＝1||，同理可得Q1＋22t，－22t||，∴m＝22t1＋22t＝2－1||， 抛物线经过点A||，∴a＋b＋c＝0||，又 6a＋3b＋2c＝0||，∴b＝－4a||，c＝3a||，对称轴为直线x＝2||，当2－1≤x≤2＋1时||，①若a＞0||，则开口向上||，由题意||，得x＝2－1时||，取得最大值2m＝22＋2||，即(2－1)2a＋(2－1)b＋c＝22＋2||，解得a＝11＋827；②若a＜0||，则开口向下||，由题意||，得x＝2时||，取得最大值22＋2||，即4a＋2b＋c＝22＋2||，解得a＝－22－2.第3题答图第4页/共12页综上所述||，所求a的值为11＋827或－22－2.4．(15分)如图6－2－4||，已知在平面直角坐标系xOy中||，O是坐标原点||，以P(1||，1)为圆心的⊙P与x轴||，y轴分别相切于点M和点N.点F从点M出发||，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动||，连结PF||，过点P作PE⊥PF交y轴于点E.设点F运动的时间是ts(t>0)．(1)若点E在y轴的负半轴上||，求证：PE＝PF；(2)在点F运动过程中||，设OE＝a||，OF＝b||，试用含a的代数式表示b；(3)作点F关于点M的对称点F′.经过M||，E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q||，连结QE.在点F运动过程中||，是否存在某一时刻||，使得以点Q||，O||，E为顶点的三角形与以点P||，M||，F为顶点的三角形相似||，若存在||，请直接写出t的值；若不存在||，请说明理由．解：(1)证明：如答图①||，连结PM||，PN. ⊙P与x轴||，y轴分别相切于点M和点N||，∴PM⊥MF||，PN⊥ON且PM＝PN||，∴∠PMF＝∠PNE＝90°且∠NPM＝90°. PE⊥PF||，∴∠1＝∠3＝...
