上海自招数学专题01有理数无理数的概念及运算典例精选1．（新罗区校级自主招生）对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：①（a，b）＝（c，d），当且仅当a＝c，b＝d；②运算“?”为：（a，b）?（c，d）＝（ac+bd，bc﹣ad）；③运算“θ”为：（a，b）θ（c，d）＝（a﹣c，b﹣d）．设p，q∈R，若（1，2）?（p，q）＝（11，2），则（1，2）θ（p，q）（）A．（﹣2，﹣2）B．（3，4）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）【点拨】先根据（1，2）?（p，q）＝（11，2），列方程组求p、q的值，再由规定运算“θ”求（1，2）θ（p，q）的结果．【解析】解：由规定②，得（1，2）?（p，q）＝（p+2q，2p﹣q）， （1，2）?（p，q）＝（11，2），∴（p+2q，2p﹣q）＝（11，2），由规定①，得{??+2??=112??-??=2，解得{??=3??=4，由规定③，可知（1，2）θ（p，q）＝（1，2）θ（3，4）＝（1﹣3，2﹣4）＝（﹣2，﹣2）．故选：A．【点睛】本题考查了有理数无理数的概念与运算．关键是理解规定运算，依照规定运算的要求，依次计算．2．（瓯海区校级自主招生）设??=√12√73-6√493-13-√73，那么a是（）A．无理数B．正整数C．分数D．负整数【点拨】根据根号里面的形式，可将里面的式子配成立方公式，然后开立方后合并即可得出答案．【解析】解：12√73-6(√73)2-1＝3×22×√73-3×2×(√73)2-1，令x＝2，y=√73，则原式＝3x2y﹣3xy2﹣1，又 x3﹣y3＝8﹣7＝1，∴原式＝3x2y﹣3xy2﹣（x3﹣y3）＝y3﹣x3+3x2y﹣3xy2＝（y﹣x）3＝（√73-2）3．∴a=√73-2-√73=-2．故选：D．【点睛】此题考查了有理数无理数的运算及立方公式的知识，技巧性较强，解答本题的关键是熟练立方公式的形式，将根号里面的式子配成立方公式，然后运算．3．（新编）若自然数n使得做竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，使称n为“连绵数”，例如12是“连绵数”，因12+13+14不产生进位现象；但13不是“连绵数”．则小于1000的“连绵数”共（）个．A．27B．47C．48D．60【点拨】首先根据题意求出个位数和十位数满足的条件，然后根据能构成“连绵数”的条件求出小于1000的“连绵数”的个数．【解析】解：根据题意个位数需要满足要求： n+（n+1）+（n+2）＜10，即n＜2.3，∴个位数可取0，1，2三个数， 十位数需要满足：3n＜10，∴n＜103，∴十位可以取0，1，2，3四个数， 百位数需要满足：3n＜10，∴n＜103，∴百位可以取0，1，2，3四个数，故小于1000的连绵数共有3×4×4＝48个．故选：C．【点睛】本题主要考查整数的十进制表示法的知识点，解答本题需要从个位数和十位数需要满足的要求着手．4．（镇海区校级自主招生）有四个命题：①如果两个整数的和与积都相等，那么这两个整数都等于2；②每一个角都等于179°的多边形是不存在的；③只有一条边的长大于1的三角形的面积可以等于12；④若α，β是不相等的无理数，则αβ+α﹣β是无理数．其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．4【点拨】根据整数的运算，多边形的内角、三角形的面积及有理数与无理数的知识，分别判断各选项即可得出答案．【解析】解：①如果两个整数的和与积相等，那么这两个整数都等于0或2，故命题错误；②每一个角都等于179°的多边形是360边形，是存在的，故命题错误；③当三边长分别为1、1、√2时，满足面积等于12，且只有一条边大于1，故命题正确；④只要令α＝1+√2，β＝﹣1+√2，则αβ+α﹣β为有理数，故命题错误．综上可得③正确，共1个．故选：A．【点睛】本题综合考查了有理数及无理数的运算，三角形的面积及多边形的内角与外角的知识，关键是熟练整数的四则运算，三角形的面积计算，多边形的内角和定理的理解和运用，有一点的难度．5．（南充自主招生）若a、b为非零实数，下列说法正确的是（）A．??2-????+14??2是非负数B．|a+b|≥|a﹣b|C．若a＞b，则1??＜1??D．（a+1）x＞b的解集为??＞????+1【点拨】利用完全平方的非负性可得出A是正确的，对于B、C、D可用不等式的性质进行求解判定．【解析】解：A、??2-????+14??2=（a-12b）2，为非负数，故本选项正确；B、若a、b同号，则|a+b|≥|a﹣b|，若a、b异号，则|a+b|≤|a﹣b|，故本选...
