专题17等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．1．等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等．2．证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明；⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明；⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：例题与求解【例1】如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则CF的长为____________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M”．【例2】如图，在△ABC中，∠B=2∠C，则AC与2AB之间的关系是（）A．AC＞2ABB．AC＝2ABC．AC≤2ABD．AC＜2AB(山东省竞赛试题)解题思路：如何条件∠B=2∠C，如何得到2AB，这是解本题的关键．ABDMFC【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BD，取BD中点M，连结ME，MC，试判断△EMC的形状，并说明理由．（山东省中考试题）解题思路：从△ADE≌△BAC出发，先确定△ADB的形状，为判断△EMC的形状奠定基础．【例4】如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF．（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明∠FAE=∠AEF，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．【例5】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=200，在边AB上取点D，使AD=BC，求∠BDC度数．（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．如图1，以BC为边在△ABC内作等边△BCO；如图②，以AC为边作等边△ACE．ABCABCMDEEABDCF能力训练A级1．已知△ABC为等腰三角形，由顶点A所引BC边的高线恰等于BC边长的一半，则∠BAC=__________．2．如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠ABC=660，△ABC以点C为中点旋转到△A′B′C的位置，顶点B在斜边A′B′上，A′C与AB相交于D，则∠BDC=_________．3．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，则AD=_______．（天津市竞赛试题）4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1cm，9cm，9cm，5cm，那么这个六边形的周长是____________cm．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．如图，△ABC中，AB=AC，∠B=360，D、E是BC上两点，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个6．若△ABC的三边长是a，b，c，且满足44422abcbc，44422bacac，44422cabab，则△ABC（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）BCAD图2EBCAD图1OACDBB′A′(第2题)ABCDEF(第3题)(第4题)9915BCADA．300B．300或1500C．1200或1500D．300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8．如图，已知Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）A．2个B．4个C．6个D．8个（江苏省竞赛试题）第5题图第8题图第9题图9．如图在等腰Rt△ABC中，∠ACB=900，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G．⑴求证：AD⊥CF；⑵连结AF，度判断△ACF的形状，并说明理由．10．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD．（天津市竞赛试题）11．如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．（江苏省竞赛试题）BACDBACDEBCABCADFGE12．如图1，Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交C...
