第3章随机变量的数字特征1，在下列句子中随机地取一单词，以X表示取到的单词所包含的字母个数，试写出X的分布律并求)(XE.“TheyfoundPekinggreatlychanged”解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4，5，6，7，7。所以分布律为X4567kp1/51/51/52/55/29)77654(51)(XE.2，在上述句子的29个字母中随机地取一个字母，以Y表示取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y的分布律并求)(YE。解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为Y4567kp4/295/296/2914/2929/175)147665544(291)(YE.3，在一批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为1163123100CCp，229312210121CCCp，221312110222CCCp。所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为)(21222112290116台E。4，抛一颗骰子，若得6点则可抛第二次，此时得分为6+（第二次所抛的点数），否则得分就是第一次所抛的点数，不能再抛。求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为Y12345789101112kp6161616161361361361361361361得分的数学期望为)(1249)121110987(361)54321(61点E。5，（1）已知)(~X，}6{}5{XPXP，求)(XE。（2）设随机变量X的分布律为,4,3,2,1,6}{22kkkXP，问X的数学期望是否存在？解：（1）根据)(~X，可得}6{!6!5}5{65XPeeXP，因此计算得到6，即)6(~X。所以)(XE=6。（2）根据题意，按照数学期望的公式可得21121221112ln61)1(66)1(}{)1()(kkkkkkkkkkXkPXE，因此期望存在。（利用了11,1)1()1ln(0xnxxnnn）（不符书上答案）6，（1）某城市一天水的消费量X（百万升计）是一个随机变量，其概率密度为其他,00,9/)(3/xxexfx，求一天的平均耗水量。（2）设某动物的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为5,2515,0)(2xxxxF求这种动物的平均寿命。解：（1）一天的平均耗水量为03/03/03/203/2)(2320)(39)()(xxxxexddxxeedxdxexdxxxfXE62003/dxex（百万升）。（2）这种动物的平均寿命为1050)251()()(5252dxxxxdxxdFXE（年）。7，在美国，致命的汽车事故所占的比例X的概率密度为其他,010,)1(42)(5xxxxf，求X的数学期望。解：10621052)1(7)1(42)()(xdxdxxxdxxxfXE1071071071061062)1(2)1(2)1(2)1(14)1(7dxxxxxxddxxxxx=1/4。8，设随机变量X具有概率密度如下，求)(XE。其他,021),/11(2)(2xxxf。解：2ln23)ln2()/11(2)()(212212xxdxxxdxxxfXE。9，设随机变量X具有概率密度如下，求)(XE。其他,010,2/)1(301,2/)1(3)(22xxxxxf解：102012)1(23)1(23)()(dxxxdxxxdxxxfXE0)1(23)1(23102012dxxxdxxx。（对第一个积分进行变量代换yx）10，设),4(~pBX，求数学期望)2(sinXE.解：4044)1(2sin)2(sinkkkkppCkXE)221)(1(4)1()1(213343114ppppppCppC。（不符书上答案）11，设球的直径R服从区间),0(a上的均匀分布，求球体积6/3RV的数学期望。解：R的概率密度函数为其他,00,/1)(axaxf，所以2416)(303adrarVEa。12，设随机变量X的概率密度为其他,00,3.0)(3.0xexfx，另有X的函数4,1640,0,0)(2XXXXXg，求数学期望)]([XgE。解：43.0403.023.0163.0)()()]([dxedxexdxxfxgXgExx)584200(912.1e（不符书上答案）13，设随机变量nXXX,,,21相互独立，且都服从区间)1,0(上的均匀分布，记),,,min(211nXXXY，),,,max(21nnXXXY，求)(),(1nYEYE。解：因为),2,1(niXi的分布函数为1,110,0,0)(xxxxxF，所以可以求出nYY,1的分布函数为YY1,110,)1(10,0)(minyyyyyFn，1,110,0,0)(maxyyyyyFn。nYY,1的密度函数为其他,010,)1()(1minyynyfn，其他,010,)(1maxynyyfn。所以nYY,1的数学期望为11)1()1()1()()(10101101min1ndyyndyyndyynydyyyfYEnnn，1)()(10maxnndynydyyyfYEnn。14，设随机变量(X,Y)具有分布律X01203/289/283/2813/143/14021/2800求)(),(),(XYEYEXE，)23(),(YXEYXE。解：求出边缘分布律如下X012}{kXP03/289/28...
