1八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球文：付雨楼、段永建今天给大家带来8个求解立体几何内切球与外接球半径的模型，本文最开始源自付雨楼老师分享的模型，教研QQ群(群号：545423319)成员段永建老师进一步作图编辑优化分享。类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）cab图1CPABabc图2PCBAabc图3CBPAabc图4PCO2BA方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(cbaR，即2222cbaR，求出R例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（C）A．16B．20C．24D．32（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是9解：（1）162haV，2a，24164442222haaR，24S，选C；（2）933342R，942RS（3）在正三棱锥SABC中，MN、分别是棱SCBC、的中点，且MNAM,若侧棱23SA,则正三棱锥ABCS外接球的表面积是。36解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：如图（3）-1，取BCAB,的中点ED,，连接CDAE,，CDAE,交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH平面ABC，ABSH，BCAC，BDAD，ABCD，AB平面SCD，SCAB，同理：SABC，SBAC，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2，MNAM，MNSB//，SBAM，SBAC，SB平面SAC，SASB，SCSB，SASB，SABC，SA平面SBC，SCSA，(3)题-1HEDBACS(3)题-2MNABCS2故三棱锥ABCS的三棱条侧棱两两互相垂直，36)32()32()32()2(2222R，即3642R，正三棱锥ABCS外接球的表面积是36（4）在四面体SABC中，ABCSA平面，,1,2,120ABACSABAC则该四面体的外接球的表面积为（D）11.A7.B310.C340.D（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为解析：（4）在ABC中，7120cos2222BCABABACBC，7BC，ABC的外接球直径为372237sin2BACBCr，3404)372()2()2(2222SArR，340S，选D（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为cba,,（Rcba,,），则6812acbcab，24abc，3a，4b，2c，29)2(2222cbaR，2942RS，（6）3)2(2222cbaR，432R，23R2383334343RV，类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，PA平面ABC解题步骤：第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；第二步：1O为ABC的外心，所以1OO平面ABC，算出小圆1O的半图5ADPO1OCBCAPB3径rDO1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得rCcBbAa2sinsinsin），PAOO211；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(rPAR22)2(2rPAR；②2122OOrR212OOrR2．题设：如图6，7，8，P的射影是ABC的外心三棱锥ABCP的三条侧棱相等三棱锥ABCP的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点图6PADO1OCB图7-1PAO1OCB图7-2PAO1OCB图8PAO1OCB图8-1DPOO2ABC图8-2POO2ABC图8-3DPOO2AB解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心1O，则1,,OOP三点共线；第二步：先算出小圆1O的半径rAO1，再算出棱锥的高hPO1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212OOAOOA222)(rRhR，解出R方法二：小圆直径参与构造大圆。例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为()CA．3B．2C．316D．以上都不对解：选C，221)3(RR,221323RRR,0324R,32R,31642RS4类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）图9-1ACBP图9-2AO1OCBP图9-3PAO1OCB图9-4AO1OCBP1．题设：如图9-1，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径）第一步：易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径rAC2；第二步：在PAC中，可根据正弦定理RCcBbAa2sinsinsin，求出R2．如图9-2，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径）21212OOCOOC2122OOrR2122OORAC3．如图9-3，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心三棱锥ABCP的三条侧棱相等三棱ABCP的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心1O，则1,,OOP三点共线；第二步：先算出小圆1O的半径rAO1，再算出棱锥的高hPO1（也是圆锥的...
