第1页共8页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共8页第十三章卡尔曼滤波在本章中，我们介绍一种被称为卡尔曼滤波的十分有用的工具。卡尔曼滤波的基本思想是将动态系统表示成为一种称为状态空间表示的特殊情形。卡尔曼滤波是对系统线性投影进行序列更新的算法。除了一般的优点以外，这种算法对计算确切的有限样本预测、计算GaussARMA模型的确切似然函数、估计具有时变参数的自回归模型等，都提供了重要方法。§13.1动态系统的状态空间表示我们已经介绍过一些随机过程的动态表示方法，下面我们在以前的假设基础上，继续分析动态系统的表示方法。13.1.1继续使用的假设假设yt表示时刻t观测到的n维随机向量，一类非常丰富的描述yt动态性的模型可以利用一些可能无法观测的被称为状态向量(statevector)的r维向量ξt表示，因此表示yt动态性的状态空间表示(state-spacerepresentation)由下列方程系统给出：ξt+1=Fξt+vt+1状态方程(statemodel)(13.1)yt=A'xt+H'ξt+wt量测方程(observationmodel)(13.2)这里F，A'和H'分别是阶数为r×r，n×k和的参数矩阵，yt=A'xt+H'ξt+wt是k×1的外生或者前定变量。方程(13.1)被称为状态方程(statemodel)，方程(13.2)被称为量测方程(observationmodel)，r×1维向量vt和n×1维向量wt都是向量白噪声，满足：E(vtvτ')=¿{Q,t=τ¿¿¿¿(13.3)E(wtwτ')=¿{R,t=τ¿¿¿¿(13.4)这里Q和R是r×r和n×n阶矩阵。假设扰动项vt和wt对于所有阶滞后都是不相关的，即对所有t和τ，有：E(vtwτ')=0(13.5)yt=A'xt+H'ξt+wt是外生或者前定变量的假定意味着，在除了包含在yt−1,yt−2,⋯,y1内的信息以外，yt=A'xt+H'ξt+wt没有为ξt+s和wt+s(s=0,1,2,⋯)提供任何新的信息。例如，yt=A'xt+H'ξt+wt可以包括yt的滞后值，也可以包括与ξτ和wτ(任意τ)不相关的变量。方程系统中方程(13.1)至方程(13.5)可以表示有限观测值的序列{y1,y2,⋯,yT}，这时需要状态向量初始值ξ1。假设ξ1与vt和wt的任何实现都不相关：E(vtξ1')=0，对任意t=1,2,⋯,T(13.6)E(wtξ1')=0，对任意t=1,2,⋯,T(13.7)状态方程(13.1)表明，ξt可以表示成为{ξ1,v2,v3,⋯,vt}的线性函数：ξt=vt+Fvt−1+F2vt−2+⋯+Ft−2v2+Ft−1ξ1，t=2,3,⋯,T(13.8)rn第2页共8页第1页共8页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共8页因此，方程(13.6)和方程(13.3)意味着vt与所有ξ的滞后值都是不相关的：E(vtξτ')=0，τ=t−1,t−2,⋯,1(13.9)类似地，可以得到：E(wtξτ')=0，τ=1,2,⋯,T(13.10)E(wtyτ')=E[wt(A'xt+H'ξt+wt)']¿0，τ=t−1,t−2,⋯,1(13.11)E(vtyτ')=0，τ=t−1,t−2,⋯,1(13.12)上述系统是相当灵活的，它的一些结论也可以推广到vt与wt相关的系统中，而且系数矩阵(F,Q,A,H,R)也可以是时间的函数。如果我们仅仅关注到上述系统的基本形式，则下面的论述将是十分清晰的。13.1.2状态空间表示的例子考虑一元AR(p)过程：yt+1−μ=φ1(yt−μ)+φ2(yt−1−μ)+⋯+φp(yt−p+1−μ)+εt+1E(εtετ)=¿{σ2,t=τ¿¿¿¿这个AR(p)过程可以表示成为下面的状态空间模型形式：状态方程(r=p)[yt+1−μyt−μ⋮yt−p+2−μ]=[φ1φ2⋯φp−1φp10⋯0001⋯00⋮⋮⋯⋮⋮00⋯10][yt−μyt−1−μ⋮yt−p+1−μ]+[εt+10⋮0](13.13)量测方程：yt=μ+[10⋯0][yt−μyt−1−μ⋮yt−p+1−μ](13.14)对应地，我们指定：ξt=[yt−μyt−1−μ⋮yt−p+1−μ]，F=[φ1φ2⋯φp−1φp10⋯0001⋯00⋮⋮⋯⋮⋮00⋯10]，vt=[εt0⋮0]，Q=[σ20⋯000⋯0⋮⋮⋯⋮00⋯0]第3页共8页第2页共8页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共8页这里变量和参数矩阵对应为：yt=yt，A'=μ，xt=1，H'=[10⋯0]，wt=0，R=0注意到这里的状态方程只是一个一阶向量自回归方程，量测方程只是一个简单的等式。因此，我们已经看到，状态空间表示只是总结AR(p)过程的另外一种方式。将AR(p)过程表示成为这种方式的原因在于，这样可以获得归纳AR(p)过程动态性的合适方式，这是我们对任何系统状态空间表示感兴趣的基本原因。另外一个例子是，我们考虑一元MA(1)...
