第1页共7页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共7页時間數列分析---模式鑑定與估計李明一前言：承續上學期對平穩型數列（StationarySeries）的探討，此次報告著重於模式的鑑定及模式的估計、檢定，意即如何鑑定各種不同之時間數列應屬於何種子模式類型之方法，及所給予的數據被鑑定為某種型態的模式後，模式中的未知參數（Parameters）如何去估計。另亦介紹無定向數列或稱非平穩數列（NonstationarySeries）。本文主要參閱林茂文編著「時間數列分析與預測」（華泰書局）。內容：首先對無定向數列做初步介紹。如圖（一）(a)，無定向數列或非平穩數列（NonstationarySeries）圖形呈現漂浮無定向的情形，然可利用差分計算的觀念使數列趨於平穩，如圖（一）(b)。因此，可認為對一無定向型數列，經取連續的差分後，終將變為一穩定型數列。無人可定義差分運算子（DifferenceOperator）∇為∇Zt=Zt−Zt−1=(1−B)Zt因此∇與後移運算子B之關係為∇=1−B，所以高階之差分可以表示為∇2=(1−B)2…，，∇d=(1−B)d，例如：第二次差分可表示為∇2Zt=(1−B)2Zt=(1−2B+B2)Zt=Zt−2Zt−1+Zt−2(1)一般而言，欲獲得無定向型時間數列之模式，係假設原始數列經取第d次差分（d>0）後可轉為平穩型數列，則可以自我回歸移動平均模式（MixedAutoregressive-MovingAverageProcess，ARMA）來表示。如此之模式稱之為（p,d,q）階之整合自我回歸移動平均模式（AutoregressiveIntegratedMovingAverageModelofOrder(p,d,q)，ARIMA），其中p表示自我回歸過程之階數，d為差分次數，q為移動平均之階數。對ARIMA有了初步的瞭解後，即可討論如何鑑定不同之時間數列應屬於何種子模式類型，模式鑑定之過程有兩個部分，第一個部分為決定ARIMA模式之p,d與q等之數值，第二個部分為計算被選取模式中未知參數μ,φ與θ之初步估計值。由於ARIMA（p,d,q）所表示之一類模式在應用上涵蓋非常廣泛，最簡第2页共7页第1页共7页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共7页單的選擇模式之運算方法是對一個原始數列{Zt}或對原始數列取差分後之新數列{Wt=(1−B)dZt}推求自我相關函數（AutocorrelationFunction,ACF）γk。假設有一個差分後之觀測數列，記為ω1,ω2,…,ωn則ωt=(1−B)dzt，在時差k之樣本自我相關係數定義為γk(ω)=ck(ω)c0(ω)(2)式中ck=1n∑t=1n−k(ωt−¯ω)(ωt+k−¯ω)與¯ω=1n∑t=1nωt。另外，在鑑定模式時，亦需應用到偏自我相關函數(PartialAutocorrelationFunction,PACF)φkk之理論圖形，藉以幫助判斷模式之類型。實際作業上，都是利用樣本之相關係數來估計理論之相關係數，但由於樣本誤差之關係，樣本估計值與理論值將不會完全相同一致。可利用下列(3)(4)兩式來判斷ACF與PACF是否自某一特定時差k起，其值有效地為零。第k個樣本ACF之標準誤差S.E.[^γk]≃n−12¿¿(3)第k個樣本PACF之標準誤差S.E.[φkk]≃n−12(4)假若估計值之絕對值小於2或3倍標準誤差，則可假設γk或ρkk之係數值為零。鑑定ARIMA(p,d,q)d之數值，因ACF若不容易很快消失時，顯示該數列為一無定向行數列，故可對數列取差分直到數列Wt=(∇dZt,d=0,1,2...)之ACF很快消失為止，即表示數列已經變為平穩型數列。由前次報告的內容很清楚的知道樣本ACF對建立移動平均（MA）模式的階次相當受用，而樣本PACF對建立自我回歸（AR）模式的階次亦很有幫助，然而對ARMA模式之建立其ACF與PACF均出現逐漸消失的型態，因此p與q的階次很難認定。對於ARMA模式之認定最常用的方法為假設Zt屬於一種ARMA(p,q)模式(1−φ1B−...−φpBP)Zt=C+(1−θ1B−...−θqBq)at(5)第3页共7页第2页共7页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共7页或等於Zt=C+∑i=1pφiZt−i−∑i=1qθiat−i+at(6)則Yt=(1−φ1B−...−φpB)Zt=Zt−∑i=1pφiZt−i(7)一般應用上，ARMA(p,q)模式之真正階次p與q通常均未知而需由估計而得，當然可運用最小二乘法估計，但是，當ARMA(p,q)p,q皆大於0時，最小二乘法所估計的參數不具一致性，因此將導致不正確的認定。為能推導出一致性的估計參數φi，假...
