求数列通项公式的方法一、公式法例1已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列{}na的通项公式。二、累加法例2已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnnLLL所以数列{}na的通项公式为2nan。评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaaL，即得数列{}na的通项公式。例3已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnLLL所以31.nnan评注：本题解题的关键是把递推关系式1231nnnaa转化为1231nnnaa，进而求出11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaaL，即得数列{}na的通项公式。例4已知数列{}na满足1132313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaanLLL因此11(13)2(1)2113133133223nnnnnann，则21133.322nnnan评注：本题解题的关键是把递推关系式13231nnnaa转化为111213333nnnnnaa，进而求出112232111122321()()()()333333333nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaL，即得数列3nna的通项公式，最后再求数列{}na的通项公式。三、累乘法例5已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnnLLLL所以数列{}na的通项公式为(1)12325!.nnnnan评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana转化为12(1)5nnnana，进而求出13211221nnnnaaaaaaaaaL，即得数列{}na的通项公式。例6已知数列{}na满足11231123(1)(2)nnaaaaananL，，求{}na的通项公式。解：因为123123(1)(2)nnaaaananL①所以1123123(1)nnnaaaananaL②用②式－①式得1.nnnaana则1(1)(2)nnanan故11(2)nnanna所以13222122![(1)43].2nnnnnaaanaannaaaaaLL③由123123(1)(2)nnaaaananL，21222naaa取得，则21aa，又知11a，则21a，代入③得!13452nnanL。所以，{}na的通项公式为!.2nna评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)nnanan转化为11(2)nnanna，进而求出132122nnnnaaaaaaaL，从而可得当2nna时，的表达式，最后再求出数列{}na的通项公式。四、待定系数法例7已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。解：设1152(5)nnnnaxax④将1235nnnaa代入④式，得12355225nnnnnaxax，等式两边消去2na，得135525nnnxx，两边除以5n，得352,1,xxx则代入④式得1152(5)nnnnaa⑤由1156510a及⑤式得50nna，则11525nnnnaa，则数列{5}nna是以1151a为首项，以2为公比的等比数列，则152nnna，故125nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式1235nnnaa转化为1152(5)nnnnaa，从而可知数列{5}nna是等比数列，进而求出数列{5}nna的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。例8已知数列{}na满足1135241nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解：设1123(2)nnnnaxyaxy⑥将13524nnnaa代入⑥式，得1352423(2)nnnnnaxyaxy整理得(52)24323nnxyxy。令52343xxyy，则52xy，代入⑥式得115223(522)nnnnaa⑦由11522112130a及⑦式，得5220nna，则115223522nnnnaa，故数列{522}nna是以1152211213a为首项，以3为公比的等比数列，因此1522133nnna，则1133522nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式13524nn...
