,.关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。一、求中点弦所在直线方程问题例1过椭圆141622yx内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：016)12(4)2(8)14(2222kxkkxk又设直线与椭圆的交点为A(11,yx)，B（22,yx），则21,xx是方程的两个根，于是14)2(82221kkkxx，又M为AB的中点，所以214)2(422221kkkxx，解得21k，故所求直线方程为042yx。解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,yx)，B（22,yx），M（2，1）为AB的中点，所以421xx，221yy，又A、B两点在椭圆上，则1642121yx，1642222yx，两式相减得0)(4)(22212221yyxx，所以21)(421212121yyxxxxyy，即21ABk，故所求直线方程为042yx。解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(yx,)，由于中点为M（2，1），则另一个交点为B(4-yx2,)，因为A、B两点在椭圆上，所以有16)2(4)4(1642222yxyx，两式相减得042yx，,.由于过A、B的直线只有一条，故所求直线方程为042yx。二、求弦中点的轨迹方程问题例2过椭圆1366422yx上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。解法一：设弦PQ中点M（yx,），弦端点P（11,yx），Q（22,yx），则有57616957616922222121yxyx，两式相减得0)(16)(922212221yyxx，又因为xxx221，yyy221，所以0)(216)(292121yyyxxx，所以yxxxyy1692121，而)8(0xykPQ，故8169xyyx。化简可得01672922yxx（8x）。解法二：设弦中点M（yx,），Q（11,yx），由281xx，21yy可得821xx，yy21，又因为Q在椭圆上，所以136642121yx，即136464)4(422yx，所以PQ中点M的轨迹方程为1916)4(22yx（8x）。三、弦中点的坐标问题例3求直线1xy被抛物线xy42截得线段的中点坐标。解：解法一：设直线1xy与抛物线xy42交于),(11yxA，),(22yxB，其中点),(00yxP，由题意得xyxy412，消去y得xx4)1(2，即0162xx，所以32210xxx，2100xy，即中点坐标为)2,3(。解法二：设直线1xy与抛物线xy42交于),(11yxA，),(22yxB，其中点),(00yxP，由题意得22212144xyxy，两式相减得)(4122122xxyy，,.所以4))((121212xxyyyy，所以421yy，即20y，3100yx，即中点坐标为)2,3(。上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看一个结论引理设A、B是二次曲线C：022FEyDxCyAx上的两点，P),(00yx为弦AB的中点，则)02(22000ECyECyDAxkAB。设A),(11yx、B),(22yx则0112121FEyDxCyAx⋯⋯（1）0222222FEyDxCyAx⋯⋯（2）)2()1(得0)()())(())((212121212121yyExxDyyyyCxxxxA∴0)()()(2)(22121210210yyExxDyyCyxxAx∴0))(2())(2(210210yyECyxxDAx 020ECy∴21xx∴ECyDAxxxyy00212122即ECyDAxkAB0022。（说明：当BA时，上面的结论就是过二次曲线C上的点P),(00yx的切线斜率公式，即ECyDAxk0022）推论1设圆022FEyDxyx的弦AB的中点为P),(00yx（)00y，则EyDxkAB0022。（假设点P在圆上时，则过点P的切线斜率为）推论2设椭圆12222byax的弦AB的中点为P),(00yx（)00y，则0022yxabkAB?。（注：对a≤b也成立。假设点P在椭圆上，则过点P的切线斜率为0022yxabk?）推论3设双曲线12222byax的弦AB的中点为P),(00yx（)00y则0022yxabkAB?。（假设点P在双曲线上，则过P点的切线斜率为0022yxabk?）推论4设抛物线pxy22的弦AB的中点为P),(00yx（)00y则0ypkAB。（假设点PEyDxk0022,.在抛物线上，则过点P的切线斜率为)0ypk我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题，下面举例说明。例1、求椭圆1162522yx斜率为3的弦的中点轨迹方程。解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，则有yx?25163，故所示的轨迹方程为16x+75y=0)2417524175(x例2、已知椭圆),0(12222babyaxA、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线l与x轴相交于P)0,(0x，求证：abaxaba22022。证明：设AB的中点为T),(11yx，由题设可知AB与x轴不垂直，∴01y，∴1122yxabkAB? l⊥A...
