第三节三角恒等变换考纲解读会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦，正切公式，导出二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系.能利用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式，但对这三种公式不要求记忆）.命题趋势探究高考必考，在选择题，填空题和解答题中都有渗透，是三角函数的重要变形工具.分值与题型稳定，属中下档难度.考题以考查三角函数式化简，求值和变形为主.化简求值的核心是：探索已知角与未知角的联系，恒等变换（化同角同函）.知识点精讲常用三角恒等变形公式和角公式sin()sincossincoscos()coscossinsintantantan()1tantan差角公式sin()sincossincoscos()coscossinsintantantan()1tantan倍角公式sin22sincos2222cos2cossin2cos112sin22tantan21tan降次（幂）公式2211cos21cos2sincossin2;sin;cos;222半角公式1cos1cossin;cos;2222sin1costan.21cossina辅助角公式22sincossin(),tan(0),babababa角的终边过点(,)ab，特殊地，若22sincosabab或22ab，则tan.ba常用的几个公式sincos2sin();4sin32cos2sin();33sincos2sin();6题型65两角和与差公式的证明题型归纳及思路提示思路提示推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.例4.33证明(1):cos()coscossinsin;C(2)用C证明:sin()sincossinScos(3)用(1)(2)证明tantan:tan().1tantanT解析(1)证法一：如图4－32（a）所示，设角,的终边交单位圆于12(cos.sin),(cos(),sin()),PP,由余弦定理得2221212122()PPOPOPOPOPcos22[coscos()][sinsin()]22cos()22(coscossinsin)22cos():cos()coscossinsin.C证法二：利用两点间的距离公式.如图4－32（b）所示12(1,0),(cos,sin),(cos(),sin(),APP3(cos(),sin()),P由231;OAPOPP得，213.APPP故2222(1cos())(0sin())[cos()cos][sin()sin],即222222[1cos()]sin()coscos2coscossinsin2sinsin化简得cos()coscossinsin(2)sin()[()][()]22coscoscos()sinsin()22cossinsincoscos:sin()sincossinScossin(sincoscossin(3)tan()cos()coscossinsinsincoscossincoscoscoscoscoscossinsincoscoscoscostantan:tan().1tantanT变式１证明：(1):cos()coscossinsin;C(2):sin()sincossinScostantan(3):tan().1tantanT题型66化简求值思路提示三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等.(1)给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.(3)给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角.一、化同角同函例4.34已知3cos()45x则2sin22sin()1tanxxx7.25A12.25B11.25C18.25D解析解法一：化简所求式22sin22sin2sincos2sinsin1tan1cosxxxxxxxxcos2sin(cossin)2sincos.cossinxxxxxxxx由3cos()45x得223cossin,225xx即32cossin,5xx两边平方得2218cossin2sincos,25xxxx即1812sincos.25xx所以72sincos.25xx故选Ａ.解法二：化简所求式2sin22sin2sincossin21tanxxxxxx27sin[2()]cos2()12cos().424425xxx故选Ａ.评注解法一运用了由未知到已知，单方向的转化化归思想求解；解法二运用了化未知为已知，目标意识强烈的构造法求解，从复杂度来讲，一般情况下采用构造法较为简单.变式1若13cos(),cos(),55则tantan_______.变式2若4cos5，是第三象限角，则1tan2()1tan21.2A1.2B.2C.2D变式3（2012江西理４）若1tan4tan，则sin2().1.5A1.4B1.3C1.2...
