图1O1O2探求相离双圆的切线长存在定值关系的点的轨迹数学组孟方明05年高考江苏卷试题第19题如下：如图1，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得PM=√2PN．试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．以O1O2的中点为原点，O1O2所在直线为x轴建立直角坐标系，所得结果为x2+y2−12x+3=0(解答略)．这表明切线长|PM|与|PN|的比值是定值√2时动点P的轨迹是一个圆．那么，如果切线长|PM|与|PN|的比值是一个一般性定值其轨迹还是一个圆吗？如果|PM|与|PN|的和、差、积是一个定值，这时的轨迹又是什么呢？笔者在数学作图软件“几何画板”的帮助下，探究得到了以下一系列有趣的结论，现归纳总结如下，供同行参阅．1商为定值已知圆O1:(x+a)2+y2=r2，圆O2:(x−a)2+y2=r2(a>r)，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，记|PM|:|PN|=k>0，则当k=1时，P的轨迹是直线x=0；当k≠1时，P的轨迹是一个圆．(本文中圆O1、圆O2、PM、PN的含义相同，下略)分析：设P(x,y)、O1(−a,0)、O2(a,0)，|PM|=√|PO1|2−r2=√(x+a)2+y2−r2，|PN|=√|PO2|2−r2=√(x−a)2+y2−r2，则|PM|:|PN|=√(x+a)2+y2−r2:√(x−a)2+y2−r2=k，平方整理得，(k2−1)(x2+y2)−2a(k2+1)x+(k2−1)(a2−r2)=0，①当k=1时，①式即x=0，轨迹是直线，当k≠1时，①式即[x−a(k2+1)k2−1]2+y2=r2(k2−1)2+4a2k2(k2−1)2，轨迹是一个圆．2和为定值若|PM|+|PN|=k>0，则(1)当k>2a时，P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(或椭圆弧)；(2)当k=2a时，P的轨迹是两条外公切线段；(3)当2√a2−r22a时，④式可化为x2k2(k2−4a2+4r2)4(k2−4a2)+y2k2−4a2+4r24=1（|x|≤k24a），它表示焦点在x轴上的椭圆(或椭圆弧)，至于是否是一个完整的椭圆，取决于k2(k2−4a2+4r2)4(k2−4a2)与(k24a)2的大小(2)当k=2a时，④式即y=±a（|x|≤k24a），它表示圆O1和圆O2的两条与x轴平行的外公切线段，如图2，OxyO1O2图3(3)当2√a2−r20的情况）时，化简后得到方程4(k2−4a2)x2+4k2y2=k2(k2−4a2+4r2)（x≥k24a），与上面④式为相同的方程式，仅范围不同，故此处只给出结论，分析留给读者自行完成．若|PM|−|PN|=k>0，则(1)当k>2√a(a+r)时，这样的P不存在；(2)当k=2√a(a+r)时，P的轨迹是点(a+r,0)；(3)当2a
