第8章磁场数学技巧|磁场中的几何知识1．概述高中物理要求学生具备数学知识解决物理问题的能力．当带电粒子在磁场中运动时，主要应用平面几何知识，这部分数学知识理解并不困难，关键是灵活的运用．常用的数学知识有：勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角函数，对称性分析，圆的常用几何性质等．2．关键点该类问题的关键点是确定圆心，找出半径和确定圆心角，常有三种情况：(1)已知粒子两个速度的方向时，画两个速度方向的垂线，交点即圆心，因为这是两处洛伦兹力的方向交点；(2)已知粒子在某点的一个速度方向，还有过该点粒子轨迹上的一条弦时，作弦的中垂线，中垂线和速度垂线的交点，即为圆心；(3)已知粒子的一个速度方向和粒子运动的轨迹半径R时，在这个速度的垂线上，通过垂足找出一个半径R的长度，便可以找到圆心．如图81所示，纸面内有E、F、G三点，∠GEF＝30°，∠EFG＝135°.空间有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．先使带有电荷量为q(q>0)的点电荷a在纸面内垂直于EF从F点射出，其轨迹经过G点，再使带有同样电荷量的点电荷b在纸面内与EF成一定角度从E点射出，其轨迹也经过G点．两点电荷从射出到经过G点所用的时间相同，且经过G点时的速度方向也相同．已知点电荷a的质量为m，轨道半径为R，不计重力．求：图81(1)点电荷a从射出到经过G点所用的时间；(2)点电荷b的速度的大小．【思路导引】【规范解答】(1)设点电荷a的速度大小为v，由牛顿第二定律得qvB＝m①由①式得v＝②设点电荷a的运动周期为T，有T＝③如图，O和O1分别是a和b的圆轨道的圆心．设a在磁场中偏转的角度为θ，由几何关系可得：θ＝90°④故a从开始运动到经过G点所用的时间t为：t＝.⑤(2)设点电荷b的速度大小为v1，轨道半径为R1，b在磁场中的偏转角度为θ1，依题意有：t＝＝⑥由式⑥得：v1＝v⑦由于两轨道在G点相切，所以G点的半径OG和O1G在同一直线上．由几何关系和题给条件可得θ1＝60°⑧R1＝2R⑨联立②④⑦⑧⑨解得v1＝.【答案】(1)(2)[突破训练]1．如图82所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m，带电量为q，假设粒子速度方向都和纸面平行．【导学号：96622155】图82(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场后第一次通过A点，则初速度的大小是多少？(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？【解析】(1)如图所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R1，则由几何关系得R1＝，又qv1B＝m得v1＝.(2)如图所示，设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为R2，则由几何关系有(2r－R2)2＝R＋r2可得R2＝，又qv2B＝m，可得v2＝故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过.【答案】(1)(2)物理方法|带电粒子在交变电、磁场中运动问题的解法带电粒子在交变复合场中的运动问题的基本思路：如图83甲所示，在光滑绝缘的水平桌面上建立一xOy坐标系，水平桌面处在周期性变化的电场和磁场中，电场和磁场的变化规律如图乙所示(规定沿＋y方向为电场强度的正方向，竖直向下为磁感应强度的正方向)．在0时刻，一质量为10g、电荷量为0.1C的带正电金属小球自坐标原点O处，以v0＝2m/s的速度沿x轴正方向射出．已知E0＝0.2N/C、B0＝0.2πT．求：(1)1s末金属小球速度的大小和方向；(2)1～2s内，金属小球在磁场中做圆周运动的周期和半径；(3)6s内金属小球运动至离x轴最远点时的位置坐标．图83【规范解答】(1)在0～1s内，小球在电场力作用下，在x轴方向上做匀速运动，vx＝v0，在y轴方向做匀加速直线运动，vy＝t11s末小球的速度v1＝＝2m/s设v1与x轴正方向的夹角为α，则tanα＝＝1故α＝45°.(2)在1～2s内，小球在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝＝1s由洛伦兹力公式得qv1B0＝解得R1＝＝m.(3)如图(a)所示，在5s内，小球部分运动轨迹可视为一条连续抛物线．由匀变速直线运动规律知x方向上x3＝v0tvx＝v0y方向上y3＝at2a＝，vy3＝at5s末时小球的速度v＝＝2m/stanθ＝＝3(θ为v与x轴的夹角)在5～6s内，小球在磁场中做匀速圆周运...
