第1页共7页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共7页抽象函数问题的处理策略霍邱一中余其权抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，它是中学数学函数部分的难点.因为抽象，学生难以理解，接受困难；因为抽象，教师对教材难以处理，何时讲授，如何讲授，讲授哪些内容，采用什么方式等等，深感茫然无序.其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路，本文就上述问题作一些探讨.1、线性函数型抽象函数f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）例1、已知函数f(x)对任意实数x，y，均有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0，f(−1)=−2，求f(x)在区间[－2，1]上的值域。解：设x10， 当x>0时，f(x)>0，∴f(x2−x1)>0， f(x2)=f[(x2−x1)+x1]=f(x2−x1)+f(x1)，∴f(x2)−f(x1)=f(x2−x1)>0，即f(x1)0时，f(x)>2，f(3)＝5，求不等式f(a2−2a−2)<3的解.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.2、二次函数型抽象函数f(x)=k(x−a)2+m————f(a+x)=f(a−x)二次函数型抽象函数即由二次函数抽象而得到的函数若抽象函数y=f(x)满足x∈R，总有f(a+x)=f(a−x)，则可用二次函数y=k(x−a)2+m为模型引出解题思路；第2页共7页第1页共7页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共7页例3、已知实数集上的函数f(x)恒满足f(2+x)=f(2−x),方程f(x)=0有5个实根,则这5个根之和=_____________分析：因为实数集上的函数f(x)恒满足f(2+x)=f(2−x),方程f(x)=0有5个实根，可以将该函数看成是类似于二次函数y=k(x−2)2为模型引出解题思路，即函数的对称轴是x=2，并且函数在f(2)=0，其余的四个实数根关于x=2对称，解：因为实数集上的函数f(x)恒满足f(2+x)=f(2−x),方程f(x)=0有5个实根，所以函数关于直线x=2对称，所以方程的五个实数根也关于直线x=2对称，其中有一个实数根为2，其它四个实数根位于直线x=2两侧，关于直线x=2对称，则这5个根之和为103、指数函数型的抽象函数f（x）＝ax-------------------f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝f(x)f(y)例4、设f(x)是定义在R上的偶函数。其图象关于直线y＝x对称，对任意x1，x2∈[0.12]，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，且f(1)＝a＞0．(Ⅰ)求f(12)及f(14)；(Ⅱ)证明f(x)是周期函数；(Ⅲ)记an=f(2n+12n)，求limn→∞(lnan)．(Ⅰ)解：可以考虑指数函数的模型指导解题的思路，例如运用函数f(x)=2x由f(x1)+f(x2)=f(x1)f(x2),x1,x2∈[0,12]知：f(x)=f(x2)f(x2)≥0，x∈[0，1] f(1)=f(12+12)=f(12)f(12)=[f(12)]2，f(1)＝a＞0，∴f(12)=a12 f(12)=f(14+14)=f(14)f(14)=[f(14)]2，∴f(14)=a14(Ⅱ)证明：依题设y＝f(x)关于直线x＝1对称，故f(x)＝f(1＋1－x)，即f(x)＝f(2－x)，x∈R又由f(x)是偶函数知f(－x)＝f(x)，x∈R将上式中－x以x代换，得f(x)＝f(x＋2)，x∈R这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．(Ⅲ)解：由(Ⅰ)知f(x)＞0，x∈[0，1]第3页共7页第2页共7页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共7页 f(12)=f(n⋅12n)=f[12n+(n−1)⋅12n]=f(12n)f[(n−1)12n]=f(12n)f(12n)f[(n−2)12n]=f(12n)f(12n)⋯f(12n)=[f(12n)]n∴f(12n)=a12n f(x)的一个周期是2，∴f(2n+12n)=f(12n)，因此an=a12n∴limn→∞(lnan)=limn→∞(12nlna)=0．例5、设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数m、n，总有f(m+n)=f(m)⋅f(n)，且x>0时01；（2）证明：f(x)在R上单调递减；（3）设A={(x...
