1.3全称量词与存在量词1．下列命题中是假命题的是()A．∃x∈R，log2x＝0B．∃x∈R，cosx＝1C．∀x∈R，x2>0D．∀x∈R,2x>0答案C解析因为log21＝0，cos0＝1，所以选项A，B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x>0，选项D为真命题，故选C.2．(2020·长沙期末)命题p：“∀x∈N*，x≤”的否定为()A．∀x∈N*，x>B．∀x∉N*，x>C．∃x∉N*，>D．∃x∈N*，>答案D解析命题p的否定是把“∀”改成“∃”，再把“x≤”改为“>”即可，故选D.3．下列命题是真命题的是()A．所有的素数都是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥0C．对于每一个无理数x，x2是有理数D．∀x∈Z，∉Z答案B解析对于A,2是素数，但2不是奇数，A假；对于B，∀x∈R，总有x2≥0，则x2＋1≥0恒成立，B真；对于C，是无理数，()2＝π还是无理数，C假；对于D,1∈Z，但＝1∈Z，D假，故选B.4．若命题p：∀x∈R,2x2－1>0，则该命题的否定是()A．∃x∈R,2x2－1<0B．∀x∈R,2x2－1≥0C．∃x∈R,2x2－1≤0D．∀x∈R,2x2－1<0答案C解析由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题p：∀x∈R,2x2－1>0的否定是“∃x∈R,2x2－1≤0”．12x12x12x5．已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是()A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0答案C解析已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0，故选C.6．已知命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0)B．[0,4]C．[4，＋∞)D．(0,4)答案D解析因为命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得0
2”．其中正确说法的个数是()A．0B．1C．2D．3答案C解析由x＝，得tanx＝1，但由tanx＝1不一定推出x＝，可知“x＝”是“tanx＝1”的充分不必要条件，所以①正确；若定义在[a，b]上的函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b是偶函数，则解得则f(x)＝x2＋5，其在[－5,5]上的最大值为30，所以②正确；命题“∃x∈R，x＋≥2”的否定是“∀x∈R，x＋<2”，所以③错误．综上可知，正确说法的个数为2.故选C.8．(多选)有四个关于三角函数的命题，其中是真命题的是()A．∃x∈R，sinx＋cosx＝2B．∃x∈R，sin2x＝sinxC．∀x∈，＝cosxD．∀x∈(0，π)，sinx>cosx答案BC解析对于选项A，因为sinx＋cosx＝sin，所以sinx＋cosx的最大值为，可得不存在x∈R，使sinx＋cosx＝2成立，故命题A是假命题；对于选项B，因为存在x＝kπ或±＋2kπ(k∈Z)，使sin2x＝sinx成立，故命题B是真命题；对于选项C，因为＝cos2x，所以＝|cosx|，结合x∈得cosx≥0，由此可得＝cosx，故命题C是真命题；对于选项D，因为当x＝时，sinx＝cosx＝，不满足sinx>cosx，所以存在x∈(0，π)，使sinx>cosx不成立，故命题D是假命题．9．(2020·北京通州区模拟)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是______________．答案解析由“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立．设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．故Δ＝25－4×a<0，解得a>，即实数a的取值范围为.10．已知命题“∀x∈R，sinx－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．答案(－∞，－1]解析由题意，对∀x∈R，a≤sinx成立．由于对∀x∈R，－1≤sinx≤1，所以a≤－1.11．若命题“∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则k的取值范围是________________．答案(－4,0]解析“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，当k＝0时，则有－1<0；当k≠0时，则有k<0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－4
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