5.4复数1．(2019·葫芦岛模拟)设i是虚数单位，若复数z＝1＋2i，则复数z的模为()A．1B．2C.D.答案D解析依题意，|z|＝＝，故选D.2．(2019·北京)已知复数z＝2＋i，则z·等于()A.B.C．3D．5答案D解析∵z＝2＋i，∴＝2－i，z·＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D.3．设z＝＋2i，则|z|等于()A．0B.C．1D.答案C解析∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝1.故选C.4．已知复数z＝，则z＋在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案A解析∵z＝＝＝－＋i，∴z＋＝＋i，∴z＋在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．故选A.5．(2020·湖南省师范大学附属中学模拟)若复数z＝m2＋m＋(m＋1)i是纯虚数，其中m是实数，则等于()A．iB．－iC．2iD．－2i答案B解析复数z＝m(m＋1)＋(m＋1)i是纯虚数，故m(m＋1)＝0且(m＋1)≠0，解得m＝0，故z＝i，故＝＝＝－i.故选B.6．(2019·安徽江南十校联考)已知复数z满足z2＝12＋16i，则z的模为()A．20B．12C．2D．2答案C解析设z＝a＋bi，a，b∈R，则由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i，则解得或即|z|＝＝＝2.故选C.7．(多选)下面是关于复数z＝的四个命题，其中的真命题为()A．|z|＝2B．z2＝2iC．z的共轭复数为1＋iD．z的虚部为－1答案BD解析∵z＝＝＝－1－i，∴|z|＝，z2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，故选BD.8．(多选)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是()A．若|z1－z2|＝0，则1＝2B．若z1＝2，则1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2D．若|z1|＝|z2|，则z＝z答案ABC解析对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以1＝2为真；对于B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，所以1＝z2为真；对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，若|z1|＝|z2|，则＝，即a＋b＝a＋b，所以z1·1＝a＋b＝a＋b＝z2·2，所以z1·1＝z2·2为真；对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|，而z＝1，z＝－1，所以z＝z为假．故选ABC.9．(2019·天津市南开区模拟)已知复数z＝，i为虚数单位，则|z|2＝________.答案解析∵z＝＝＝，∴|z|2＝＋＝.10．(2020·常州模拟)＝________.答案－i解析＝＝＝＝－i.11．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则|z1－z2|＝________.答案2解析由图象可知z1＝i，z2＝2－i，故|z1－z2|＝|－2＋2i|＝＝2.12．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位．(1)求复数z；(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．解(1)因为z＝bi(b∈R)，所以＝＝＝＝＋i.又因为是实数，所以＝0，所以b＝－2，即z＝－2i.(2)因为z＝－2i，m∈R，所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi，又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，所以解得m<－2，即m∈(－∞，－2)．13．若复数z＝(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案C解析由题意得z＝＝＝，因为z在复平面内对应的点在第一象限，所以所以－1
b，则a＋i>b＋i；③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；④若z＝－i，则z3＋1在复平面内对应的点位于第一象限．其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)答案④解析由复数的概念及性质知，①错误；②错误；若a＝－1，则a＋1＝0，不满足纯虚数的条件，③错误；z3＋1＝(－i)3＋1＝i＋1，④正确．16．(2019·张家口调研)已知复数z满足：z2＝3＋4i，且z在复平面内对应的点位于第三象限．(1)求复数z；(2)设a∈R，且＝2，求实数a的值．解(1)设z＝c＋di(c<0，d<0)，则z2＝(c＋di)2＝c2－d2＋2cdi＝3＋4i，∴解得或(舍去)．∴z＝－2－i.(2)∵＝－2＋i，∴＝＝＝＝i，∴2021＝i2021＝i2020＋1＝i505×4＋1＝i，∴|a＋i|＝＝2，∴a＝±.
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