考点过关检测（二十一）1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线ax＋2by－ab＝0相切．(1)求椭圆C的离心率；(2)如图，过F1作直线l与椭圆分别交于P，Q两点，若△PQF2的周长为4，求F2P·F2Q的最大值．解：(1)由题意知＝c，即3a2b2＝c2(a2＋4b2)＝(a2－b2)·(a2＋4b2)．化简得a2＝2b2，所以e＝.(2)因为△PQF2的周长为4，所以4a＝4，得a＝，由(1)知b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1，且焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线方程为x＝－1，P，Q，F2P＝，F2Q＝，故F2P·F2Q＝.②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由消去y并整理得，(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，F2P·F2Q＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝(k2＋1)＋(k2－1)＋k2＋1＝＝－，由k2>0可得F2P·F2Q∈.综上所述，F2P·F2Q∈，所以F2P·F2Q的最大值是.2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，抛物线E：y2＝4x的焦点恰好是椭圆C的右焦点F.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F作两条斜率都存在的直线l1，l2，l1交椭圆C于点A，B，l2交椭圆C于点G，H，若|AF|是|AH|－|FH|与|AH|＋|FH|的等比中项，求|AF|·|FB|＋|GF|·|FH|的最小值．解：(1)依题意得椭圆C的右焦点F的坐标为(1,0)，即c＝1，又e＝＝，∴a＝2，b2＝3，故椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)∵|AF|是|AH|－|FH|与|AH|＋|FH|的等比中项，∴|AF|2＝|AH|2－|FH|2，即|AF|2＋|FH|2＝|AH|2，∴直线l1⊥l2.又直线l1，l2的斜率均存在，∴两直线的斜率都不为零，故可设直线l1：x＝ky＋1(k≠0)，直线l2：x＝－y＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x3，y3)，H(x4，y4)，由消去x，得(3k2＋4)y2＋6ky－9＝0，∴同理得∴|AF|·|FB|＝·＝(1＋k2)|y1y2|，|GF|·|FH|＝·＝|y3y4|，∴|AF|·|FB|＋|GF|·|FH|＝(1＋k2)|y1y2|＋|y3y4|＝(1＋k2)·＋·＝9(1＋k2)·＝＝＝≥＝.当且仅当k2＝1时取等号，故|AF|·|FB|＋|GF|·|FH|的最小值为.3．(2019·江门模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，由4个点M(－a，b)，N(a，b)，F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F1的直线和椭圆交于A，B两点，求△F2AB面积的最大值．解：(1)由条件，得b＝，且×＝3，所以a＋c＝3.又a2－c2＝3，解得a＝2，c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.(2)显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立消去x，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0.因为直线过椭圆内的点，所以无论m为何值，直线和椭圆总相交．所以y1＋y2＝，y1y2＝－.S△F2AB＝|F1F2||y1－y2|＝|y1－y2|＝＝12＝4＝4.令t＝m2＋1≥1，设y＝t＋，易知t∈[1，＋∞)时，函数单调递增，所以当t＝m2＋1＝1，即m＝0时，ymin＝，S△F2AB取得最大值3.4.(2019·济南模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：x2＝4y，直线l与抛物线C1交于A，B两点．(1)若直线OA，OB的斜率之积为－，证明：直线l过定点；(2)如图，若线段AB的中点M在曲线C2：y＝4－x2(－20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，所以kOA·kOB＝＝＝＝－，因为kOA·kOB＝－，所以－＝－，解得m＝1，满足Δ>0，所以直线l的方程为y＝kx＋1，直线l过定点(0,1)．(2)设M(x0，y0)，由已知及(1)，得x0＝＝2k，y0＝kx0＋m＝2k2＋m，将(x0，y0)代入y＝4－x2(－20，所以－
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