课时跟踪检测（十四）导数与函数的单调性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f(x)＝x－lnx的单调减区间为________．解析：函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－＝，令f′(x)＜0，得0＜x＜1.答案：(0,1)2．(2018·启东中学检测)已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底数，则满足f(ex)＜0的x的取值范围为________．解析：由f′(x)＝1－＝0(x＞0)，得x＝e－1.当x∈(0，e－1)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(e－1，＋∞)时，函数f(x)单调递增．又f(1)＝f(e)＝0,1＜e－1＜e，所以由f(ex)＜0得1＜ex＜e，解得0＜x＜1.答案：(0,1)3．(2019·盐城中学检测)若函数f(x)＝x＋＋lnx在区间[1,2]上单调递增，则实数k的取值范围是________．解析： 函数f(x)＝x＋＋lnx在区间[1,2]上单调递增，∴f′(x)＝＋＋≥0在[1,2]上恒成立，∴k≥－x2－x＋3， y＝－x2－x＋3在[1,2]上单调递减，∴ymax＝－－1＋3＝，∴k≥.答案：4．定义在R上的可导函数f(x)，已知y＝ef′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的增区间是________．解析：由题意及题图知f′(x)≥0的区间是(－∞，2)，故函数y＝f(x)的增区间是(－∞，2)．答案：(－∞，2)5．(2019·响水中学模拟)若函数f(x)＝ax3－3x在区间(－1，1)上为单调减函数，则a的取值范围是________．解析：若函数f(x)＝ax3－3x在(－1,1)上为单调减函数，则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax2－3≤0在(－1,1)上恒成立，即ax2≤1在(－1,1)上恒成立．若a≤0，满足条件．若a＞0，则只要当x＝1或x＝－1时，满足条件即可，此时a≤1，即0＜a≤1.综上a≤1.答案：(－∞，1]二保高考，全练题型做到高考达标1．若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为________．解析：设幂函数f(x)＝xα，因为图象过点，所以＝α，α＝2，所以f(x)＝x2，故g(x)＝exx2，令g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)＜0，得－2＜x＜0，故函数g(x)的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间为________．解析：函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)＞0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex＞0，解得x＞2.答案：(2，＋∞)3．若函数f(x)＝x3＋x2－ax＋3a在区间[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是________．解析：因为f′(x)＝x2＋2x－a，且函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，所以f′(x)≥0在[1,2]上恒成立，所以a≤(x2＋2x)min＝3，所以a≤3.答案：(－∞，3]4．(2018·淮安期末)若函数f(x)＝x2－alnx在其定义域内的一个子区间(a－2，a＋2)上不单调，则实数a的取值范围是________．解析：函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，故a－2≥0，解得a≥2，而f′(x)＝x－，令x－＝0，解得x＝.因为f(x)在(a－2，a＋2)上不单调，所以a－2＜＜a＋2，解得0≤a＜4.综上，a∈[2,4)．答案：[2,4)5．(2018·姜堰中学学情调研)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为________．解析：依题意得，当x＜1时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，1)上为增函数．又f(3)＝f(－1)，且－1＜0＜＜1，因此f(－1)＜f(0)＜f，即f(3)＜f(0)＜f，c＜a＜b.答案：c＜a＜b6．(2018·东台中学期末)已知f(x)是定义在R上的函数，f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)＋f(x)＞0，且f(0)＝1，则不等式f(x)＜e－x的解集为________．解析：令g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]＞0，所以g(x)在R上单调递增，而f(0)＝1，故g(0)＝1.f(x)＜e－x等价于exf(x)＜1，则g(x)＜g(0)，解得x＜0.答案：(－∞，0)7．已知定义在R上的可导函数f(x)满足f′(x)＜1，若f(2－m)－f(m)＜2－2m，则实数m的取值范围是________．解析：令g(x)＝f(x)－x，所以g′(x)＝f′(x)－1＜0，即g(x)在R上单调递减，由题可知f(2－m)－f(m)＜2－2m，即f(2－m)－(2－m)＜f(m)－m，也即g(2－m)＜g(m)，所以2－m＞m，即得m＜1.答案：(－∞，1)8．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导数f′(x)＜，则不等式f(x2)＜＋的解集为_____...
