第4讲数系的扩充与复数的引入1．(2018·连云港模拟))复数(1＋i)2的虚部是________．[解析](1＋i)2＝2i，所以该复数的虚部为2.[答案]22．复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为________．[解析]由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋＝3＋＝3＋2＋i＝5＋i，所以z＝5－i.[答案]5－i3．设复数z的共轭复数为z，若z＝1－i(i为虚数单位)，则＋z2的值为________．[解析]依题意得＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝i－2i＝－i.[答案]－i4．在复平面内O为坐标原点，复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA和OB，则|AB|＝________.[解析]由复数的几何意义知，OA＝(1，1)，OB＝(1，3)，则AB＝OB－OA＝(1，3)－(1，1)＝(0，2)，所以|AB|＝2.[答案]25．(2018·云南省师大附中月考改编)若复数z＝的共轭复数是z＝a＋bi(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则点(a，b)为________．[解析]因为z＝＝－2－i，所以z＝－2＋i.[答案](－2，1)6．若(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则点P(a，b)到原点的距离等于________．[解析]由已知ai＋2＝b－i，所以所以点P(－1，2)到原点距离|OP|＝.[答案]7．若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数|x＋yi|＝________．[解析]依题意得－y＋xi＝3＋4i，所以即所以|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.[答案]58．设复数z满足4z＋2z＝3＋i，ω＝sinθ－icosθ(θ∈R)，则|z－ω|的取值范围为________．[解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入4z＋2z＝3＋i，得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，所以解得所以z＝＋i.|z－ω|＝＝＝＝.因为－1≤sin≤1，所以0≤2－2sin≤4.所以0≤|z－ω|≤2.[答案][0，2]9．已知集合M＝，i是虚数单位，Z为整数集，则集合Z∩M中的元素个数是________．[解析]由已知得M＝{i，－1，－i，2}，Z为整数集，所以Z∩M＝{－1，2}，即集合Z∩M中有2个元素．[答案]210．给出下列四个命题：①若z∈C，|z|2＝z2，则z∈R；②若z∈C，z＝－z，则z是纯虚数；③z∈C，|z|2＝zi，则z＝0或z＝i；④若z1，z2∈C，|z1＋z2|＝|z1－z2|，则z1z2＝0.其中真命题的个数为________．[解析]①是真命题，|z|2＝z·z，所以z·z＝z2，所以z＝0或z＝z，故z∈R；②是假命题，z＝0时不成立；③是假命题，因为|z|2＝z·z＝zi，所以z(z－i)＝0，故z＝0或z＝－i；④是假命题，假如z1＝1，z2＝i时，z1z2≠0，但|z1＋z2|＝|z1－z2|.[答案]111．计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).[解](1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.12．已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．[解]设z＝x＋yi(x，y∈R)．因为z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.因为＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i，由题意得x＝4.所以z＝4－2i.因为(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件，可知解得2＜a＜6，所以实数a的取值范围是(2，6)．13.如图，平行四边形OABC中，质点O，A，C分别表示复数0、3＋2i、－2＋4i，试求：(1)AO表示的复数，BC表示的复数；(2)对角线CA所表示的复数．[解](1)因为AO＝－OA，所以AO所表示的复数为－3－2i，因为BC＝AO，所以BC表示的复数也是－3－2i.(2)CA＝OA－OC，所以CA所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.1．定义：若z2＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则称复数z是复数a＋bi的平方根．根据定义，则复数－3＋4i的平方根是________．[解析]设(x＋yi)2＝－3＋4i(x，y∈R)，则解得或[答案]1＋2i或－1－2i2．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．[解析]因为|z－2|＝＝，所以(x－2)2＋y2＝3.由图可知＝＝.[答案]3．已知集合A＝{2，7，－4m＋(m＋2)i}(其中i为虚数单位，m∈R)，B＝{8，3}，且A∩B≠∅，则m的值为________．[解析]因为A∩B≠∅，所以－4m＋(m＋2)i＝8或－4m＋(m＋2)i＝3，解得m＝－2.[答案]－24．在复平面内，定点M与复数m＝对应，动点Z与复数z＝x＋yi对应，则满足不等式1≤|z－m|≤3的点Z所构成的图形的面积等于________．[解析]m＝＝＝＝－1＋i，所以满足不等式1≤|z－m|≤3的点Z所构成的图形是以点(－1，1)为圆心，分别以1，3为半径的圆所围成的圆环，故S＝π×32－π×1...
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