第十九章推理与证明(数学归纳法)考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度20132014201520162017数学归纳法利用数学归纳法证明有关结论23题10分23题10分解答题★★★分析解读数学归纳法主要用来解决与正整数有关的命题,是命题的热点内容.通常与推理、数列、不等式证明、二项式定理等知识结合来考查逻辑推理能力.命题探究(1)由已知,得f1(x)=f'0(x)='=-,于是f2(x)=f'1(x)='-'=--+,所以f1=-,f2=-+.故2f1+f2=-1.(2)证明:由已知,得xf0(x)=sinx,等式两边分别对x求导,得f0(x)+xf'0(x)=cosx,即f0(x)+xf1(x)=cosx=sin,类似可得2f1(x)+xf2(x)=-sinx=sin(x+π),3f2(x)+xf3(x)=-cosx=sin,4f3(x)+xf4(x)=sinx=sin(x+2π).下面用数学归纳法证明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的n∈N*都成立.(i)当n=1时,由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sin.因为[kfk-1(x)+xfk(x)]'=kf'k-1(x)+fk(x)+xf'k(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),'=cos·'=sin,所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin.因此当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的n∈N*都成立.令x=,可得nfn-1+fn=sin(n∈N*).所以=(n∈N*).五年高考考点数学归纳法1.(2017浙江,22,15分)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*).证明:当n∈N*时,(1)0
0.当n=1时,x1=1>0.假设n=k时,xk>0,那么n=k+1时,若xk+1≤0,则00.因此xn>0(n∈N*).所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1.因此00(x>0).函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0,因此-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)≥0,故2xn+1-xn≤(n∈N*).(3)因为xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,所以xn≥.由≥2xn+1-xn得-≥2>0,所以-≥2≥…≥2n-1=2n-2,故xn≤.综上,≤xn≤(n∈N*).2.(2014广东节选,19,14分)设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列{an}的通项公式.解析(1)依题有解得a1=3,a2=5,a3=7.(2) Sn=2nan+1-3n2-4n,①∴当n≥2时,Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1).②①-②并整理得an+1=.由(1)猜想an=2n+1,下面用数学归纳法证明.当n=1时,a1=2+1=3,命题成立;假设当n=k时,ak=2k+1命题成立.则当n=k+1时,ak+1===2k+3=2(k+1)+1,即当n=k+1时,结论成立.综上,n∈N∀*,an=2n+1.3.(2014重庆,22,12分)设a1=1,an+1=+b(n∈N*).(1)若b=1,求a2,a3及数列{an}的通项公式;(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2nf(a2k+1)>f(1)=a2,即1>c>a2k+2>a2.再由f(x)在(-∞,1]上为减函数得c=f(c)f(a2k+1)=a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)
