课时达标检测(三十四）空间几何体的表面积与体积[练基础小题——强化运算能力]1．下列结论中错误的序号有________．①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥；④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线．解析：①错误，如图(1)是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；②错误，如图(2)，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；③错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．④显然正确．答案：①②③2．(2018·南通中学高三月考)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，则三棱锥MAB1C的体积是________．解析：因为VMAB1C＝VABCA1B1C1－VAA1B1M－VB1ABC－VCB1C1M，所以VMAB1C＝2××22－×2×××22－×2××22－×2×××22＝.答案：3．已知某圆锥体的底面半径r＝3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是________．解析：由已知可得沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为2πr＝6π，从而其母线长为l＝＝9，所以圆锥体的表面积为S侧＋S底＝×9×6π＋9π＝36π.答案：36π4.(2018·陕西西工大附中训练)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是________．解析：由PD⊥底面ABCD，得PD⊥AD.又PD＝m，PA＝m，则AD＝m.设内切球的球心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，OD，OP(图略)，易知VPABCD＝VOABCD＋VOPAD＋VOPAB＋VOPBC＋VOPCD，即·m2·m＝·m2×R＋×·m2·R＋×·m2·R＋×·m2·R＋··m2·R，解得R＝(2－)m，所以此球的最大半径是(2－)m.答案：(2－)m5．(2018·常州期末)以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积的比值为________．解析：如图，由题意可得圆柱的侧面积为S1＝2πrh＝2πr2.圆锥的母线l＝＝r，故圆锥的侧面积为S2＝×2πr×l＝πr2，所以＝.答案：[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是________．解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2πr＝πl，∴l＝2r，则圆锥的表面积S表＝πr2＋π(2r)2＝a，∴r2＝，∴2r＝.答案：2．(2018·苏北四市一模)将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是________．解析：因为等腰直角三角形的斜边长为4，所以斜边上的高为2，故旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体，圆锥的底面半径为2，高为2，因此，几何体的体积为V＝2×π×22×2＝.答案：3．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________．解析：依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝＝2，解得R＝1，所以V＝R3＝.答案：4．已知正四面体的棱长为，则其外接球的表面积为________．解析：如图所示，过顶点A作AO⊥底面BCD，垂足为O，则O为正三角形BCD的中心，连结DO并延长交BC于E，又正四面体的棱长为，所以DE＝，OD＝DE＝，所以在直角三角形AOD中，AO＝＝.设正四面体外接球的球心为P，半径为R，连结PD，则在直角三角形POD中，PD2＝PO2＋OD2，即R2＝2＋2，解得R＝，所以外接球的表面积S＝4πR2＝3π.答案：3π5．(2018·无锡期中)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．解析：如图，设截面小圆的半径为r，球的半径为R，因为AH∶HB＝1∶2，所以OH＝R，又由题意得πr2＝π，则r＝1.由勾股定理得，R2＝r2＋OH2，故R2＝1＋2，即R2＝.由球的表面积公式得，S＝4πR2＝.答案：6．(2018·苏州十中月考)已知四...
