第24讲选修4－2：矩阵与变换题型一|二阶矩阵与线性变换二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换M作用下得到了直线m：x－y＝4.求直线l的方程．[解](1)设二阶矩阵M＝.依题意＝，＝，2分也就是＝，＝，∴且3分解得a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，因此所求矩阵M＝.4分(2)∵M＝，∴坐标变换公式为6分∵(x′，y′)是直线m：x－y＝4上的点．∴(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，8分即x＋y＋2＝0，∴直线l的方程为x＋y＋2＝0.10分【名师点评】1.二阶矩阵与线性变换的题目往往和矩阵的基本运算相结合命题．包括二阶矩阵的乘法，矩阵与向量的乘法等．2．(1)二阶矩阵与线性变换涉及变换矩阵、变换前的曲线方程、变换后的曲线方程三个要素．知其二可求第三个．(2)在解决通过矩阵进行平面曲线的变换问题时，要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．1．已知矩阵A＝，B＝，向量α＝，若Aα＝Bα，求实数x，y的值．[解]Aα＝，Bα＝，5分由Aα＝Bα得解得x＝－，y＝4.10分2．(2016·苏州期中)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.求实数a，b的值．[解]设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任一点P(x，y)在矩阵A对应变换下的像是P′(x′，y′)，则＝＝，5分所以8分因为x′2＋y′2＝1，所以(ax)2＋(bx＋y)2＝1，即(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1，所以由于a＞0，得a＝b＝1.10分题型二|二阶矩阵的逆矩阵与逆变换已知矩阵A＝.(1)求逆矩阵A－1；(2)若二阶矩阵X满足AX＝，试求矩阵X.[解](1)∵det(A)＝＝－1≠0.∴矩阵A是可逆的，2分∴A－1＝＝.5分(2)∵AX＝，∴A－1AX＝A－1，7分∴X＝＝.10分【名师点评】1.逆矩阵的求法有两种：一是利用待定系数法．二是利用公式法．2．若A，B两个矩阵均存在可逆矩阵时，则有(AB)－1＝B－1A－1；若A，B，C为二阶矩阵且A可逆，则当AB＝AC时，有B＝C，即此时矩阵乘法的消去律成立．1．若点A(a，b)(其中a≠b)在矩阵M＝对应变换的作用下得到的点为B(－b，a)，(1)求矩阵M的逆矩阵；(2)求曲线C：x2＋y2＝1在矩阵N＝所对应变换的作用下得到的新的曲线C′的方程．【导学号：19592066】[解](1)M＝，即＝，所以得3分即M＝，由M－1M＝得M－1＝.5分(2)矩阵N对应的线性变换为⇒代入x2＋y2＝1得4x2＋y2＝1.10分2．设M＝，N＝，试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下得到的曲线方程．[解]MN＝＝，设(x，y)是曲线y＝sinx上的任意一点，在矩阵MN变换下对应的点为(x′，y′).5分则＝，所以x′＝x，y′＝2y，且x＝2x′，y＝y′，8分代入y＝sinx，得y′＝sin2x′，即y′＝2sin2x′.即曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的曲线方程为y＝2sin2x.10分题型三|二阶矩阵的特征值与特征向量(2016·苏州模拟)求矩阵M＝的特征值和特征向量．[解]特征多项式f(λ)＝＝(λ＋1)(λ－6)－8＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)，由f(λ)＝0，解得λ1＝7，λ2＝－2.4分将λ1＝7代入特征方程组，得即y＝2x，可取为属于特征值λ1＝7的一个特征向量，6分同理，λ2＝－2时，特征方程组是即x＝－4y，所以可取为属于特征值λ2＝－2的一个特征向量.8分综上所述，矩阵M＝有两个特征值λ1＝7，λ2＝－2；属于λ1＝7的一个特征向量为，属于λ2＝－2的一个特征向量为.10分【名师点评】求矩阵的特征值与特征向量如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，它满足f(λ)＝0.此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可以得到一组非零解，于是，非零向量即为A的属于λ的一个特征向量．1．已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值．[解]因为A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1.2分因为A－1＝，所以A＝(A－1)－1＝，5分于是矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ－4.8分令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.10分2．(2015·江苏高考)已知x，y∈R，向量α＝是矩阵A＝的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．[解]由已知，得Aα＝－2α，即＝＝，3分则即所以矩阵A＝.7分从而矩阵A的特征多项式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)，所以矩阵A的另一个特征值为1.10分
