专题限时集训(十八)圆锥曲线的定义、方程与性质(建议用时：45分钟)1．设抛物线C1的方程为y＝x2，它的焦点F关于原点的对称点为E.若曲线C2上的点到E，F的距离之差的绝对值等于6，则曲线C2的标准方程为________．【解析】方程y＝x2可化为x2＝20y，它的焦点为F(0,5)，所以点E的坐标为(0，－5)，根据题意，知曲线C2是焦点在y轴上的双曲线，设方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2a＝6，a＝3，又c＝5，b2＝c2－a2＝16，所以曲线C2的标准方程为－＝1.【答案】－＝12．(2016·常州期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点P(1，－2)，则该双曲线的离心率为________．【导学号：19592052】[双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.由点P(1，－2)在其直线上，得＝2.∴离心率e＝＝＝.]3．(2016·苏北四市摸底)已知双曲线x2－＝1(m>0)的一条渐近线方程为x＋y＝0，则m＝________.[双曲线x2－＝1(m>0)的渐近线方程为y＝±mx(m>0)．由题意可知m＝.]4．(2016·南京盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P(1,3)，则其焦点到准线的距离为________．[由题意，可设曲线C的方程为y2＝2px(p>0)．由于点P(1,3)满足y2＝2px，即9＝2p，∴p＝.故焦点到准线的距离为.]5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为________．＋＝1[由e＝得＝①.又△AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a＝4，得a＝，代入①得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，故C的方程为＋＝1.]6．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则AB＝________.12[ F为抛物线C：y2＝3x的焦点，∴F，∴AB的方程为y－0＝tan30°，即y＝x－.联立得x2－x＋＝0.∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.由于AB＝xA＋xB＋p，∴AB＝＋＝12.]7．(2016·南通三模)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1与抛物线y2＝－12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为________．y＝±x[抛物线y2＝－12x的焦点为(－3,0)，故双曲线－y2＝1满足a2＋1＝9，∴a2＝8.∴a＝±2.∴双曲线的渐近线方程y＝±＝±x.]8．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1的直线与椭圆相交于A，B两点，若AB·AF2＝0，且|AB|＝|AF2|，则椭圆的圆心率为________．－[在Rt△ABF2中，设AF2＝m，则BF2＝m，所以4a＝(2＋)m，又在Rt△AF1F2中，AF1＝2a－m＝m，F1F2＝2c，所以(2c)2＝2＋m2＝m2，即2c＝m，所以e＝＝＝＝－.]9．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB(O为原点)，则该椭圆的离心率是________．【导学号：19592053】图17－2[把x＝－c代入椭圆方程，得y＝±，∴PF＝. OP∥AB，PF∥OB，∴△PFO∽△BOA，∴＝，即＝，得b＝c，e＝.]10．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若BC＝2BF，且AF＝3，则抛物线的方程是________．y2＝3x[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，作AM，BN垂直准线于点M，N(图略)，则BN＝BF，又BC＝2BF，得BC＝2BN，所以∠NCB＝30°，有AC＝2AM＝6，设BF＝x，则2x＋x＋3＝6⇒x＝1，又x1＋＝3，x2＋＝1，且x1x2＝，所以＝，解得p＝，从而抛物线方程为y2＝3x.]11．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________．(2，＋∞)[ x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知MF＝y0＋2.以F为圆心、FM为半径的圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2.由于以F为圆心、FM为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故42.]12．如图17－3，已知直线l：y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C的准线上的射影分别是M，N，若AM＝2BN，则k＝________.图17－3[设直线l与曲线C的准线的交点为E，因为AM＝2BN，所以BE＝BA，即B为AE的中点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得2x2＝x1－1，由得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，所以x2·x1＝1，即·x1＝1，得x1＝2，y1＝2，x2＝，y2＝，k＝.]13．(2013·辽宁高考)已知F为双曲线C：－＝1的左焦...
