专题限时集训(六)利用导数研究函数的单调性、极值、最值(建议用时：45分钟)1．设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．[解](1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.1分令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝，x1
x2时，f′(x)<0；当x10.5分故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增.6分(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0.7分①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值.10分②当00)，8分由题意可得方程ax2－3x＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，并令h(x)＝ax2－3x＋2，10分则也可以为13分解得0
