专题限时集训(三)基本初等函数、函数与方程及函数的应用(建议用时：45分钟)一、填空题1．函数f(x)＝－lnx的零点个数为________．1[因为函数f(x)是减函数，且f(1)＝1>0，f(e)＝－1<0，所以f(x)在(1，e)上有唯一零点．]2．(2016·无锡期中)若函数f(x)＝ln|x－a|(a∈R)满足f(3＋x)＝f(3－x)，且f(x)在(－∞，m)单调递减，则实数m的最大值为________．3[由f(3＋x)＝f(3－x)得f(x)关于直线x＝3对称，又f(x)＝ln|x－a|，故a＝3.又f(x)在(－∞，m)单调递减，故实数m的最大值为3.]3．已知函数f(x)＝若直线y＝m与函数f(x)的图象有两个不同的交点，则实数m的取值范围是________．(0,1)[在坐标系中画出函数f(x)＝的图象，可见当00时，解|log2x|＝，得x＝或x＝.所以方程f(x)＝的解集为.]5．函数f(x)＝log2(4－x2)的值域为________．(－∞，2][ x2≥0，∴0<4－x2≤4，令t＝4－x2，则0b>c[由对数运算法则得a＝log36＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，由对数函数图象得log32>log52>log72，所以a>b>c.]7．(2016·镇江模拟)已知函数f(x)＝若0＜a＜b＜c，满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则的范围是________．(1,2)[如图所示， 0＜a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)，∴－log2a＝log2b，即ab＝1，又由图可知＜f(x)＜1，故1＜＜2，∴＝∈(1,2)．]8．(2016·南通三模)已知函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，g(x)＝(f′(x)为f(x)的导函数)．若方程g(f(x))＝0有四个不等的实根，则a的取值范围是________．(－∞，0)∪(2，＋∞)[当a＝0时，g(f(x))＝0有且只有一个实根，当a≠0时， f(x)＝x2＋ax，∴f′(x)＝2x＋a，∴g(x)＝当f(x)≥0时，由f2(x)＋af(x)＝0得f(x)＝0或f(x)＝－a，即x2＋ax＝0或x2＋ax＝－a.由x2＋ax＝0得x＝0或x＝－a.①当a＞0时，方程x2＋ax＝－a无解；②当a＜0时，方程x2＋ax＝－a可化为x2＋ax＋a＝0，由Δ＝a2－4a＞0得方程x2＋ax＝－a有两个不等实根．且0，－a不是方程的根．当f(x)＜0时，2f(x)＋a＝0.①当a＜0时，方程2x2＋2ax＋a＝0无实根；②当a＞0时，Δ＝4a(a－2)．当a＝2时，方程有且只有一根；当a＞2时，方程有两个不等实根．综上所述，当a＜0或a＞2时，方程g(f(x))＝0有四个不等的实根．]9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x>1时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)，且若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为________．【导学号：19592009】2－2[由x>1时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)＝f(x)＋1，可得：当x∈[n，n＋1]，n∈N*时，f(x)＝f(x－1)＋1＝f(x－2)＋2＝…＝f(x－n)＋n＝(x－n)2＋n.因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以其图象关于原点对称．因此要使直线y＝kx与函数y＝f(x)恰有5个不同的公共点，只需满足当x>0时，直线y＝kx与函数y＝f(x)恰有2个不同的公共点．作出x>0时函数y＝f(x)的图象，由图可知，当直线y＝kx与曲线段y＝(x－1)2＋1，x∈[1,2]相切时，直线与函数y＝f(x)恰有5个不同的公共点．由直线方程y＝kx与y＝(x－1)2＋1，x∈[1,2]联立方程组，消去y得：x2－(2＋k)x＋2＝0，因为相切，所以Δ＝(2＋k)2－8＝0.又k>0，所以k＝2－2.]二、解答题10．(2016·南通二调)设函数f(x)＝(x＋k＋1)，g(x)＝，其中k是实数．(1)若k＝0，解不等式·f(x)≥·g(x)；(2)若k≥0，求关于x的方程f(x)＝x·g(x)实根的个数．[解](1)当k＝0时，f(x)＝(x＋1)，g(x)＝，由得x≥0.3分此时，原不等式为(x＋1)x≥(x＋3)，即2x2＋x－3≥0，5分解得x≤－或x≥1.所以原不等式的解集为[1，＋∞).6分(2)当k≥0时，由方程f(x)＝xg(x)得，(x＋k＋1)＝x.①由得x≥k，所以x≥0，x－k＋1＞0.8分方程①两边平方，整理得(2k－1)x2－(k2－1)x－k(k＋1)2＝0(x≥k)．②当k＝时，由②得x＝，所以原方程有唯一解，当k≠时，由②得判别式Δ＝(k＋1)2(3k－1)2，10分①当k＝时，Δ＝0，方程②有两...
