14个填空题专项强化练(十三)双曲线和抛物线A组——题型分类练题型一双曲线1．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的离心率为________．解析：由已知得，a＝，b＝，则c＝＝3，所以e＝＝.答案：2．已知双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝2x，则该双曲线的焦距为________．解析：由题意得，＝2，所以a＝，所以c＝＝5，所以该双曲线的焦距为10.答案：103．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为________．解析：由e＝知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为y＝±x，故由P(0,4)，知左焦点F的坐标为(－4,0)，所以c＝4，则a2＝b2＝＝8.故双曲线的方程为－＝1.答案：－＝14．已知F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为________．解析：由题意得E(a,0)，不妨设A，B，显然△ABE是等腰三角形，故当△ABE是锐角三角形时，∠AEB＜90°，从而＜a＋c，化简得c2－ac－2a2＜0，即e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，故1＜e＜2.答案：(1,2)5．若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则PF＋PA的最小值是________．解析：由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知，PF＋PA＝4＋PB＋PA≥4＋AB＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．答案：96．F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．解析：如图，由双曲线定义得，BF1－BF2＝AF2－AF1＝2a，因为△ABF2是正三角形，所以BF2＝AF2＝AB，因此AF1＝2a，AF2＝4a，且∠F1AF2＝120°，在△F1AF2中，4c2＝4a2＋16a2＋2×2a×4a×＝28a2，所以e＝.答案：题型二抛物线1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是________．解析：因为抛物线方程为y2＝4x，所以焦点F(1,0)，准线l的方程为x＝－1，设PA⊥l，A为垂足，所以PF＝PA＝xP－(－1)＝3，所以点P的横坐标是2.答案：22．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．解析：由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.答案：x2＝12y3．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y2＝2x上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据对称性：A，B关于x轴对称，故∠AOx＝30°.直线OA的方程y＝x，代入y2＝2x，得x2－6x＝0，解得x＝0或x＝6.即得A的坐标为(6,2)，所以AB＝4.故正三角形OAB的面积为×4×6＝12.答案：124．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－，则线段PF的长为________．解析： 抛物线方程为y2＝6x，∴焦点F，准线l的方程为x＝－. 直线AF的斜率为－，∴直线AF的方程为y＝－，当x＝－时，y＝3，由此可得A点坐标为. PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为3，代入抛物线方程，得P点坐标为，∴PF＝PA＝－＝6.答案：65．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4FQ，则QF＝________.解析：如图，过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为FP＝4FQ，所以PQ∶PF＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以QF＝QQ′＝3.答案：36.如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点(0,3)的直线与抛物线交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若AF＋BF＝6，则点D的横坐标为________．解析：由题意知，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，如图，设AB的中点为H，A，B，H在准线上的射影分别为A′，B′，H′，连结AA′，BB′，HH′，则HH′＝(AA′＋BB′)．由抛物线的定义可得，AF＝AA′，BF＝BB′，又AF＋BF＝6，所以AA′＋BB′＝6，HH′＝×6＝3，故点H的横坐标为2.设A(x1，y1)，B(x2...
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