14个填空题专项强化练(十二)椭圆A组——题型分类练题型一椭圆的定义及标准方程1．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝4∶3，则△PF1F2的面积为________．解析：因为PF1＋PF2＝14，又PF1∶PF2＝4∶3，所以PF1＝8，PF2＝6.因为F1F2＝10，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2＝PF1·PF2＝×8×6＝24.答案：242．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为________．解析：由椭圆的定义知AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a，又 △AF1B的周长＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4，∴a＝.又e＝，∴c＝1.∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆C的方程为＋＝1.答案：＋＝13．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且PF1，F1F2，PF2成等差数列，则椭圆方程为________________．解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点(2，)在椭圆上，知＋＝1①.又PF1，F1F2，PF2成等差数列，则PF1＋PF2＝2F1F2，即2×2c＝2a，＝②，又c2＝a2－b2③，联立①②③得a2＝8，b2＝6.故椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝1题型二椭圆的几何性质1．椭圆＋＝1的离心率是________．解析：根据题意知，a＝3，b＝2，则c＝＝，∴椭圆的离心率e＝＝.答案：2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________.解析：由题意可得，＝，所以m＝4.答案：43．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆的方程为______________．解析：依题意，2c＝4，c＝2，又e＝＝，则a＝2，b＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝14．已知圆C1：x2＋2cx＋y2＝0，圆C2：x2－2cx＋y2＝0，椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是________．解析：圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，∴只需⇒0<≤.答案：5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为________．解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝＝.答案：题型三椭圆的综合问题1．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在该椭圆上，且MF1·MF2＝0，则点M到y轴的距离为________．解析：由题意，得F1(－，0)，F2(，0)．设M(x，y)，则MF1·MF2＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0，整理得x2＋y2＝3.①又因为点M在椭圆上，故＋y2＝1，即y2＝1－.②将②代入①，得x2＝2，解得x＝±.故点M到y轴的距离为.答案：2．设点P在圆C：x2＋(y－2)2＝1上移动，点Q在椭圆＋y2＝1上移动，则PQ的最大值是________．解析：圆心C(0,2)，PQ≤PC＋CQ＝1＋CQ，于是只要求CQ的最大值．设Q(x，y)，∴CQ＝＝＝＝. －1≤y≤1，∴当y＝－时，CQmax＝＝，∴PQmax＝1＋.答案：1＋3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)及点B(0，a)，过B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝________.解析：法一：由题意知，切线的斜率存在，设切线方程为y＝kx＋a(k>0)，与椭圆方程联立得b2x2＋a2(kx＋a)2－a2b2＝0，即(b2＋a2k2)x2＋2a3kx＋a4－a2b2＝0，由Δ＝4a6k2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，得k＝，从而y＝x＋a交x轴于A，又F(c,0)，易知BA·BF＝0，故∠ABF＝90°.法二：由椭圆性质可知，过B且与椭圆相切的斜率为正的直线方程为y＝ex＋a(e为椭圆的离心率)，即切线斜率为e，∴tan∠BAF＝＝e，又tan∠OBF＝＝e，则∠BAF＝∠OBF，因而∠ABF＝90°.答案：90°B组——高考提速练1．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的短轴的长为________．解析：依题意得AC＝5，所以椭圆的焦距为2c＝AB＝4，长轴长2a＝AC＋BC＝8，所以短轴长为2b＝2＝2＝4.答案：42．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，若PF1·PF2＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为________．解析：因为PF1·PF2＝0，tan∠PF1F2＝，所以PF1⊥PF2，sin∠PF1F2＝，cos∠PF1F2＝.所以PF1＝c，PF2＝c，则PF1＋PF2＝c＝2a，所以e＝＝.答案：3．已知椭圆＋＝1(a...
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