14个填空题专项强化练(六)三角恒等变换与解三角形A组——题型分类练题型一同角三角函数的基本关系与诱导公式1．sin240°＝________.解析：sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－.答案：－2．已知cosα＝－，角α是第二象限角，则tan(2π－α)＝________.解析：因为cosα＝－，角α是第二象限角，所以sinα＝，所以tanα＝－，故tan(2π－α)＝－tanα＝.答案：3．已知θ是第三象限角，且sinθ－2cosθ＝－，则sinθ＋cosθ＝________.解析：由且θ为第三象限角，得故sinθ＋cosθ＝－.答案：－题型二三角恒等变换1．若＝，则tan2α＝________.解析：因为＝＝＝，所以tanα＝2，所以tan2α＝＝＝－.答案：－2．若sin＝，α∈，则cosα的值为________．解析： α∈，∴α－∈.又 sin＝，∴cos＝，∴cosα＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝.答案：3．若f(x)＝2tanx－，则f的值为________．解析：因为f(x)＝2tanx＋＝2tanx＋＝＝，所以f＝＝8.答案：84．已知cos－sinα＝，则sin的值是________．解析：由cos－sinα＝，得cosα－sinα＝，即－＝，即sin＝－.所以sin＝sin＝－sin＝.答案：5．设α∈，β∈，若sin＝，tan＝，则tan(2α＋β)的值为________．解析：因为α∈，所以α＋∈.又sin＝，所以cos＝，所以sin＝2sincos＝，cos＝2cos2－1＝－，所以tan＝－.又2α＋β＝＋，所以tan(2α＋β)＝tan＝＝＝－.答案：－题型三正弦定理和余弦定理1．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.解析：由正弦定理得＝，由余弦定理得cosA＝， a＝4，b＝5，c＝6，∴＝＝2··cosA＝2××＝1.答案：12．在锐角△ABC中，AB＝3，AC＝4.若△ABC的面积为3，则BC的长是________．解析：因为S△ABC＝AB·ACsinA，所以3＝×3×4×sinA，所以sinA＝，因为△ABC是锐角三角形，所以A＝60°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，解得BC＝.答案：3．已知在△ABC中，A＝120°，AB＝，角B的平分线BD＝，则BC＝________.解析：在△ABD中，由正弦定理得＝，∴sin∠ADB＝＝，∴∠ADB＝45°，∴∠ABD＝15°，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝30°，∴AC＝AB＝.在△ABC中，由余弦定理得BC＝＝.答案：4．在斜三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若＋＝，则的最大值为________．解析：由＋＝可得，＋＝，即＝，∴＝，即＝，∴sin2C＝sinAsinBcosC.根据正弦定理及余弦定理可得，c2＝ab·，整理得a2＋b2＝3c2.∴＝＝≤＝，当且仅当a＝b时等号成立．答案：B组——高考提速练1．已知cos＝，且|φ|<，则tanφ＝________.解析：cos＝sinφ＝，又|φ|<，则cosφ＝，所以tanφ＝.答案：2．已知sin2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)等于________．解析：由题意，可得cos2α＝－，则tan2α＝－，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝－2.答案：－23．已知sin(π－α)＝－2sin，则sinαcosα＝________.解析：由sin(π－α)＝－2sin，得sinα＝－2cosα，所以tanα＝－2，所以sinαcosα＝＝＝－.答案：－4．若tanβ＝2tanα，且cosαsinβ＝，则sin(α－β)的值为________．解析：由tanβ＝2tanα得，2sinαcosβ＝cosαsinβ，所以2sinαcosβ＝，所以sinαcosβ＝，所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－＝－.答案：－5．若tan2α＋＝3，则tan＝________.解析：由tan2α＋＝3，得＋＝3，解得tanα＝.所以tan＝＝－.答案：－6．已知sin(α－45°)＝－，且0°<α<90°，则cos2α的值为________．解析： sin(α－45°)＝－，0°＜α＜90°，∴－45°＜α－45°＜45°，cos(α－45°)＝，∴cos2α＝－sin(2α－90°)＝－2sin(α－45°)cos(α－45°)＝－2××＝.答案：7.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC＝________.解析：设BD＝1，则AB＝AD＝，BC＝2.在△ABD中，由余弦定理，得cosA＝＝，所以sinA＝，在△ABC中，由正弦定理＝，得sinC＝.答案：8．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高的长度为________．解析：设AB＝x，则由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，知7＝x2＋4－2x，即x2－2x－3＝0，所以x＝3(负值舍去)．所以BC边上的高为AB·sinB＝3×＝.答案...
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