14个填空题专项强化练(八)数列A组——题型分类练题型一等差、等比数列的基本运算1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2＝7，S7＝－7，则a7的值为________．解析：因为等差数列{an}满足a2＝7，S7＝－7，所以S7＝7a4＝－7，a4＝－1，所以d＝＝－4，所以a7＝a2＋5d＝－13.答案：－132．设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3＝－，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{an}的前4项和为________．解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a2，a4，a3成等差数列，所以2a4＝a2＋a3，所以2a2q2＝a2＋a2q，即2q2－q－1＝0，又q≠1，解得q＝－.因为a1a2a3＝－，所以aq3＝－，解得a1＝1.则数列{an}的前4项和S4＝＝.答案：3．已知等差数列{cn}的首项为c1＝1.若{2cn＋3}为等比数列，则c2017＝________.解析：设等差数列{cn}的公差为d，由题意得(2c2＋3)2＝(2c1＋3)(2c3＋3)，即(2＋2d＋3)2＝(2＋3)(2＋4d＋3)⇒d＝0，因此c2017＝c1＝1.答案：14．已知等比数列{an}的各项均为正数，若a4＝a，a2＋a4＝，则a5＝________.解析：法一：设等比数列{an}的首项为a1(a1>0)，公比为q(q>0)，由题意解得所以a5＝a1q4＝.法二：(整体思想)依题意由得16a＋16a2－5＝0，即(4a2＋5)(4a2－1)＝0，又等比数列{an}各项均为正数，所以a2＝，从而a4＝，从而由q2＝＝，又q>0，所以q＝，a5＝a4q＝×＝.答案：题型二等差、等比数列的性质1．设{an}是等差数列，若a4＋a5＋a6＝21，则S9＝________.解析：因为{an}是等差数列，a4＋a5＋a6＝21，所以a4＋a5＋a6＝3a5＝21，解得a5＝7，所以S9＝(a1＋a9)＝9a5＝63.答案：632．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝________.解析：设S2＝k，S4＝3k，由数列{an}为等比数列，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，∴S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝.答案：3．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.解析：因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.答案：504．已知数列{an}是等差数列，且an>0，若a1＋a2＋…＋a100＝500，则a50·a51的最大值为________．解析：法一：设等差数列{an}的公差为d(d≥0)，由题意得，100a1＋4950d＝500，所以a1＝5－49.5d，所以a50·a51＝(a1＋49d)·(a1＋50d)＝(5－0.5d)·(5＋0.5d)＝－0.25d2＋25.又d≥0，所以当d＝0时，a50·a51有最大值25.法二：由等差数列的性质知，50(a50＋a51)＝500，即a50＋a51＝10，所以由基本不等式得a50·a51≤2＝25，当且仅当a50＝a51＝5时取等号，所以a50·a51有最大值25.答案：255．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，若＝，则使得为整数的正整数n的个数是________．解析：由＝＝＝＝＝7＋.因此n∈N*，∈N*，故n＋1＝2,3,4,6,12，即n共有5个．答案：5题型三数列的综合问题1．已知等比数列{an}的前4项和为5，且4a1，a2，a2成等差数列，若bn＝，则数列{bnbn＋1}的前10项和为________．解析：由4a1，a2，a2成等差数列，可得4a1＋a2＝3a2，则2a1＝a2，则等比数列{an}的公比q＝＝2，则数列{an}的前4项和为＝5，解得a1＝，所以an＝×2n－1，bn＝＝，则bnbn＋1＝＝－，其前10项和为＋＋…＋＝.答案：2．对于数列{an}，定义数列{bn}满足：bn＝an＋1－an(n∈N*)，且bn＋1－bn＝1(n∈N*)，a3＝1，a4＝－1，则a1＝________.解析：由a3＝1，a4＝－1及bn＝an＋1－an得b3＝a4－a3＝－2，又由bn＋1－bn＝1得数列{bn}是等差数列，bn＝b3＋(n－3)×1＝n－5，所以an＋1－an＝n－5，从而得a3－a2＝－3⇒a2＝4，a2－a1＝－4⇒a1＝8.答案：83．在等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝2，若某学生对其中连续10项进行求和，在漏掉一项的前提下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为________．解析：由已知条件可得数列{an}的通项公式an＝2n＋1，设连续10项为ai＋1，ai＋2，ai＋3，…，ai＋10，i∈N，设漏掉的一项为ai＋k,1≤k≤10，由－ai＋k＝185，得(2i＋3＋2i＋21)×5－2i－2k－1＝185，即18i－2k＝66，即9i－k＝33，...
VIP
