6个解答题综合仿真练(一)1.在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b＝3，c＝2.(1)若2a·cosC＝3，求a的值；(2)若＝，求cosC的值．解：(1)由余弦定理得，2a·＝3，将b＝3，c＝2代入，解得a＝2.(2)由正弦定理，得＝，即sinC＋sinCcosB＝sinBcosC，则sinC＝sinBcosC－cosBsinC＝sin(B－C)．因为0b>0)的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．(1)若点C的坐标为，求a，b的值；(2)设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且AB＝OC，求直线AB的斜率．解：(1)因为椭圆的离心率为，所以＝，即＝.①又因为点C在椭圆上，所以＋＝1.②由①②解得a2＝9，b2＝5.因为a>b>0，所以a＝3，b＝.(2)法一：由(1)知，＝，所以椭圆方程为＋＝1，即5x2＋9y2＝5a2.设直线OC的方程为x＝my(m>0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)．由消去x，得5m2y2＋9y2＝5a2，所以y2＝.因为y2>0，所以y2＝.因为AB＝OC，所以AB∥OC.可设直线AB的方程为x＝my－a.由消去x，得(5m2＋9)y2－10amy＝0，所以y＝0或y＝，得y1＝.因为AB＝OC，所以(x1＋a，y1)＝，于是y2＝2y1，即＝(m>0)，所以m＝.所以直线AB的斜率为＝.法二：由(1)可知，椭圆方程为5x2＋9y2＝5a2，则A(－a，0)．设B(x1，y1)，C(x2，y2)．由AB＝OC，得(x1＋a，y1)＝，所以x1＝x2－a，y1＝y2.因为点B，C都在椭圆5x2＋9y2＝5a2上，所以解得x2＝，y2＝，所以直线AB的斜率k＝＝.4.如图，半圆AOB是某市休闲广场的平面示意图，半径OA的长为10.管理部门在A，B两处各安装一个光源，其相应的光强度分别为4和9.根据光学原理，地面上某点处照度y与光强度I成正比，与光源距离x的平方成反比，即y＝(k为比例系数)．经测量，在弧AB的中点C处的照度为130.(C处的照度为A，B两处光源的照度之和)(1)求比例系数k的值；(2)现在管理部门计划在半圆弧AB上，照度最小处增设一个光源P，试问新增光源P安装在什么位置？解：(1)因为半径OA的长为10，点C是弧AB的中点，所以OC⊥AB，AC＝BC＝10.所以C处的照度为y＝＋＝130，解得比例系数k＝2000.(2)设点P在半圆弧AB上，且P距光源A为x，则PA⊥PB，由AB＝20，得PB＝(0＜x＜20)．所以点P处的照度为y＝＋(0＜x＜20)．所以y′＝－＋＝4000×＝20000×.由y′＝0，解得x＝4.当0＜x＜4时，y′＜0，y＝＋为减函数；当4＜x＜20时，y′＞0，y＝＋为增函数．所以x＝4时，y取得极小值，也是最小值.所以新增光源P安装在半圆弧AB上且距A为4(距B为4)的位置．5．已知函数f(x)＝(a－3)x－a－2lnx(a∈R)．(1)若函数f(x)在(1，＋∞)上为单调增函数，求实数a的最小值；(2)已知不等式f(x)＋3x≥0对任意x∈(0,1]都成立，求实数a的取值范围．解：(1)法一：因为f′(x)＝a－3－(x>0),当a≤3时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a＞3时，由f′(x)＜0，得0＜x＜，f(x)在上单调递减，由f′(x)＞0，得x＞，f(x)在上单调递增.因为函数f(x)在(1，＋∞)上为单调增函数，所以a＞3且≤1，所以a≥5,所以实数a的最小值为5.法二：因为函数f(x)在(1，＋∞)上为单调增函数，所以f′(x)＝a－3－≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≥3＋在(1，＋∞)上恒成立，又当x＞1时，3＋＜5,所以a≥5，所以实数a的最小值为5.(2)令g(x)＝f(x)＋3x＝a(x－1)－2lnx，x∈(0,1]，所以g′(x)＝a－.①当a≤2时，由于x∈(0,1]，所以≥2，所以g′(x)≤0，g(x)在(0,1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝0，所以对任意x∈(0,1]，g(x)≥g(1)＝0，即对任意x∈(0,1]不等式f(x)＋3x...
