3个附加题综合仿真练(五)1．本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答A．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，D是弧AC的中点，DE⊥AB于E，AC与DE交于点M，求证：AM＝DM.证明：连结AD，因为AB为直径，所以AD⊥BD，又DE⊥AB，所以∠ABD＝∠ADE.因为D是弧AC的中点，所以∠DAC＝∠ABD，所以∠ADE＝∠DAC.所以AM＝DM.B．[选修4－2：矩阵与变换]已知向量是矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy中，点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P′(3,3)，求矩阵A.解：设A＝，因为向量是矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量，所以＝＝(－1)＝.所以①因为点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P′(3，3)，所以＝＝.所以②由①②解得a＝1，b＝2，c＝2，d＝1，所以A＝.C．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知直线(n为参数)与曲线(t为参数)相交于A，B两点，求线段AB的长．解：法一：将曲线(t为参数)化为普通方程为y2＝8x.将直线(n为参数)代入y2＝8x得，n2－8n＋24＝0，解得n1＝2，n2＝6.则|n1－n2|＝4，所以线段AB的长为4.法二：将曲线(t为参数)化为普通方程为y2＝8x,将直线(n为参数)化为普通方程为x－y＋＝0，由得或所以AB的长为＝4.D．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝，g(x)＝，若存在实数x使f(x)＋g(x)>a成立，求实数a的取值范围．解：存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a，因为f(x)＋g(x)＝＋＝×＋1×，由柯西不等式得，(×＋1×)2≤(3＋1)(x＋2＋14－x)＝64，所以f(x)＋g(x)＝＋≤8，当且仅当x＝10时取“＝”，故实数a的取值范围是(－∞，8)．2.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝45°，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求异面直线AB与MD所成角的大小；(2)求平面OAB与平面OCD所成锐二面角的余弦值．解：作AP⊥CD于点P，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P，D，O(0,0,2)，M(0,0,1)．(1)设直线AB与MD所成角为θ，由AB＝(1,0,0)，BD＝，则cosθ＝|cos〈AB，BD〉|＝＝，故AB与MD所成角为60°.(2)OP＝，OD＝，设平面OCD的法向量n＝(x，y，z)，则即取z＝，则n＝(0,4，).易得平面OAB的一个法向量为m＝(0,1,0)，cos〈n，m〉＝＝，故平面OAB与平面OCD所成锐二面角的余弦值为.3．设a＞b＞0，n是正整数，An＝(an＋an－1b＋an－2b2＋…＋a2bn－2＋abn－1＋bn)，Bn＝n.(1)证明：A2＞B2；(2)比较An与Bn(n∈N*)的大小，并给出证明．解：(1)证明：A2－B2＝(a2＋ab＋b2)－2＝(a－b)2>0.(2)An≥Bn，证明如下：当n＝1时，A1＝B1；当n≥3时，An＝·，Bn＝n，令a＋b＝x，a－b＝y，且x>0，y>0，于是An＝·＝[(x＋y)n＋1－(x－y)n＋1]，Bn＝n，因为[(x＋y)n＋1－(x－y)n＋1]＝(2Cxny＋2C·xn－2y3＋…)≥2Cxny，所以An≥·2Cxny＝＝n＝Bn.
