课时达标检测(四十三）双曲线[练基础小题——强化运算能力]1．已知双曲线－＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝________.解析：因为双曲线的方程为－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1.答案：12．若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为________．解析：在双曲线中离心率e＝＝＝，可得＝，故双曲线的渐近线方程是y＝±x.答案：y＝±x3．已知双曲线C的焦点坐标为(5,0)，(－5,0)，离心率为，则双曲线C的标准方程是________．解析：因为所求双曲线的焦点为(5,0)，(－5,0)，离心率为，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线标准方程为－＝1.答案：－＝14．(2018·海安县高三质量测试)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意＝，b2＝3a2，所以c2＝a2＋b2＝4a2，所以e＝＝2.答案：25．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a＞0)的一条渐近线与直线y＝2x＋1平行，则实数a＝________.解析：由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±x.因为一条渐近线与直线y＝2x＋1平行，所以＝2，解得a＝1.答案：1[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．解析：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3，0)，F1(－3,0)．当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长为|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.因为|AF|＝＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，由得y2＋6y－96＝0，解得y＝2或y＝－8(舍去)，所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝×6×6－×6×2＝12.答案：122．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，且经过点(2,2)，则C的方程为________．解析：由题意，设双曲线C的方程为－x2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C过点(2,2)，则－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C的方程为－x2＝－3，即－＝1.答案：－＝13．设F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为________．解析：因为∠F1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|＝3a，|AF2|＝a，则10a2＝4c2，即＝，故e＝＝(负值舍去)．答案：4．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________．解析：由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C. A1B⊥A2C，∴·＝－1，整理得a＝b. 渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.答案：±15．(2018·江南十校联考)已知l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若PF1·PF2＝0，则点P到x轴的距离为________．解析：由题意知F1(－，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为y＝x，点P(x0，x0)，由PF1·PF2＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故点P到x轴的距离为|x0|＝2.答案：26．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为________．解析： 双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得＞2，∴e＝＝＞＝.即双曲线离心率的取值范围为(，＋∞)．答案：(，＋∞)7．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)与椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，则双曲线C的方程为________________．解析：易得椭圆的焦点为(－，0)，(，0)，∴∴a2＝1，b2＝4，∴双曲线C的方程为x2－＝1.答案：x2－＝18．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．解析：由题意得，双曲线的右准线x＝与两条渐近线y＝±x的交点坐标为.不妨设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，则F1(－2,0)，F2(2,0)，故四边形F...
