§2.4圆周角一、新课体验知识点1识别圆周角★顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.注：（1）顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交，两者缺一不可.例1指出图中的圆周角、圆心角以及弧CD所对的圆周角.知识点2圆周角定理（难点）★圆周角定理：圆周角的度数等于它所对圆周心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角______.注：（1）前提是“同弧或等弧”；例2如图，已知点A,B,C,D,E为均在O上，且AC为O的直径，则∠CAD+∠EBD+∠ACE=___________.知识点3圆周角与直径的关系★直径所对的圆周角是90o，90o的圆周角所对的弦是直径.例3如图，AB是O的直径，∠CAB=70o，求∠ABC的度数.例4在?ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于点D，交AC于点E.求证：弧BD=弧DE.知识点4圆内接四边形及其性质（重点）★一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做圆的外接圆.★性质定理：圆内接四边形的对角互补.例5如图，如图1，圆1O与圆2O都经过A、B两点，经过点A的直线CD与圆1O交于点C，与圆2O交于点D．经过点B的直线EF与圆1O交于点E，与圆2O交于点F.求证：CE∥DF二、经典题型题型1利用圆周角定理解决线段的有关问题例1如图所示，BC为O的直径，ADBC于点D，点P是弧AC上一动点，连接PB，分别交AD,AC于点E、F.（1）当弧PA=弧AB时，试比较BD与AE的大小，并说明理由.（2）当点P在什么位置时，AF=EF?并说明理由.例2.如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．题型2圆周角定理在生产生活中的应用例2用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据下图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？()题型3与圆周角定理有关的猜想型问题例3如图，已知OA,OB,OC都是O的半径，∠AOB=2∠BOC，那么∠ACB与∠BAC有怎样的关系？说明理由.题型4添加辅助圆证明角相等例4如图，点D为Rt?ABC的斜边的中点，EF,BC互相垂直平分与点D，且EF=BC.求证：∠BAE=∠EAC=∠CAF题型5圆内接四边形的性质与圆周角定理的综合应用例5已知如图，∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且AD平分∠EAC.求证：BD=DC.典例精讲:1．（易错题）下列结论中，正确的有（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，D是AC的中点，与∠ABD相等的角的个数是（）．A．4B．3C．2D．1(第2题)(第3题)(第4题)3．已知：如图，⊙O的两条弦AE，BC相交于点D，连结AC，BE，?AO，?BO，?若∠ACB=60°，则下列结论中正确的是（）A．∠AOB=60°B．∠ADB=60°C．∠AEB=60°D．∠AEB=30°(第5题)(第6题)(第7题)4．如图，已知弦AB的长等于⊙O?的半径，?点C?是AMB上一点，?则∠ACB=______．5．如图，AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，则∠C+∠E+∠D=?___．6．如图，在⊙O中，∠AOB=100°，C为优弧AB的中点，则∠CAB=_______．7．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，求∠OBC的度数．8．如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF=BE，求证：∠D=∠B．9．如图，△ABC中，AC=BC，以AC为直径的⊙O交AB于E，作△BCA的外角平分线CF交⊙O于F，连接EF．求证：EF=BC．10．已知：如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，BAAF，BF与AD交于E，?求证：AE=BE．11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，以AE为直径画圆，经过点B、C，求证：（1）∠BAE=∠CAD；（2）试说明：以等腰三角形的一腰为直径的圆平分底边．12．已知：如图，∠AOB=90°，C、D是AB的三等分点，AB分别交OC、?OD?于点E、F．求证：AE=BF=CD．13．如图，△ABC内接于⊙O，弦CM⊥AB于M，CN是直径，F为AB的中点，求证：CF平分∠MCN．【拓广创新】14．如图，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是CAD上一点（不与C、D重合）．求证：∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系，请证明你的结论．
