课时知能训练一、选择题1．(2012·惠州质检)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB·AC等于()A．－16B．－8C．8D．16【解析】由AB＝AC＋CB，∴AB·AC＝AC2＋CB·AC.又AC＝4，且CB⊥AC，∴AB·AC＝42＝16.【答案】D2．(2011·湖北高考)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－B.C.D.【解析】2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，则(2a＋b)·(a－b)＝3×0＋3×3＝9，|2a＋b|＝3，|a－b|＝3，设2a＋b与a－b的夹角为θ，且θ∈[0，π]，则cosθ＝＝，得θ＝.【答案】C3．已知P是边长为2的等边△ABC的边BC上的动点，则AP·(AB＋AC)()A．最大值为8B．是定值6C．最小值为2D．是定值2【解析】设BC的中点为D，则AB＋AC＝2AD，由△ABC为等边三角形，得AD⊥BP，∴AD·BP＝0，∴AP·(AB＋AC)＝(AB＋BP)·2AD＝2AB·AD＝2|AB||AD|cos∠BAD＝2×2××＝6.【答案】B4．(2011·课标全国卷)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p1：|a＋b|＞1⇔θ∈[0，)；p2：|a＋b|＞1⇔θ∈(，π]p3：|a－b|＞1⇔θ∈[0，)；p4：|a－b|＞1⇔θ∈(，π]其中的真命题是()A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4【解析】由|a＋b|＝＝＞1，得2＋2cosθ＞1，∴cosθ＞－，∴0≤θ＜.由|a－b|＝＝＞1，得2－2cosθ＞1，∴cosθ＜，∴＜θ≤π.∴p1，p4正确．p2，p3错误．【答案】A5．(2011·辽宁高考)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A.－1B．1C.D．2【解析】∵a2＝b2＝c2＝1，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋c2≤0，∴a·c＋b·c≥c2＝1，∴|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a·c＋b·c)≤1，∴|a＋b－c|≤1.【答案】B二、填空题6．已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，则|a－b|的最大值为________．【解析】∵a－b＝(0，sinθ－cosθ)，∴|a－b|＝＝|sinθ－cosθ|＝2|sin(θ－)|≤2，∴|a－b|的最大值为2.【答案】27．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a∥b且a∥c，则b∥c；②若a＝(2，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－6；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．【解析】命题①明显错误．由两向量平行得2×6＋2k＝0，k＝－6，故命题②正确．由|a|＝|b|＝|a－b|，再结合平行四边形法则可得a与a＋b的夹角为30°，命题③正确．【答案】②③8．(2011·江苏高考)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．【解析】由题意a·b＝0，即有(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，∴ke＋(1－2k)e1·e2－2e＝0.又|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝，∴k－2＋(1－2k)·cos＝0，k＝.【答案】三、解答题图4－3－29．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD.如图4－3－2所示，试求AD·AC.【解】∵DC＝2BD，即BD＝BC，∴AD＝AB＋BD＝AB＋BC.又BC＝AC－AB，因此AD＝AB＋(AC－AB)＝AC＋AB.∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，∴AD·AC＝AC2＋AB·AC＝×12＋×2×1·cos120°＝－.10．(2012·揭阳调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．【解】(1)由题设知AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，则AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4)．所以|AB＋AC|＝2，|AB－AC|＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t,5＋t)．由(AB－tOC)·OC＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.11．已知a＝(1,2)，b＝(－2，n)，a与b的夹角是45°.(1)求b；(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.【解】(1)a·b＝2n－2，|a|＝，|b|＝，∴cos45°＝＝，∴3n2－16n－12＝0(n＞1)，∴n＝6或n＝－(舍)，∴b＝(－2,6)．(2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5.又c与b同向，故可设c＝λb(λ＞0)，(c－a)·a＝0，∴λb·a－|a|2＝0，∴λ＝＝＝，∴c＝b＝(－1,3)．
