课时知能训练一、选择题1.(2012·惠州质检)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则AB·AC等于()A.-16B.-8C.8D.16【解析】由AB=AC+CB,∴AB·AC=AC2+CB·AC.又AC=4,且CB⊥AC,∴AB·AC=42=16.【答案】D2.(2011·湖北高考)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于()A.-B.C.D.【解析】2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3),a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3),则(2a+b)·(a-b)=3×0+3×3=9,|2a+b|=3,|a-b|=3,设2a+b与a-b的夹角为θ,且θ∈[0,π],则cosθ==,得θ=.【答案】C3.已知P是边长为2的等边△ABC的边BC上的动点,则AP·(AB+AC)()A.最大值为8B.是定值6C.最小值为2D.是定值2【解析】设BC的中点为D,则AB+AC=2AD,由△ABC为等边三角形,得AD⊥BP,∴AD·BP=0,∴AP·(AB+AC)=(AB+BP)·2AD=2AB·AD=2|AB||AD|cos∠BAD=2×2××=6.【答案】B4.(2011·课标全国卷)已知a与b均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题:p1:|a+b|>1⇔θ∈[0,);p2:|a+b|>1⇔θ∈(,π]p3:|a-b|>1⇔θ∈[0,);p4:|a-b|>1⇔θ∈(,π]其中的真命题是()A.p1,p4B.p1,p3C.p2,p3D.p2,p4【解析】由|a+b|==>1,得2+2cosθ>1,∴cosθ>-,∴0≤θ<.由|a-b|==>1,得2-2cosθ>1,∴cosθ<,∴<θ≤π.∴p1,p4正确.p2,p3错误.【答案】A5.(2011·辽宁高考)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为()A.-1B.1C.D.2【解析】∵a2=b2=c2=1,且a·b=0,(a-c)·(b-c)=a·b-a·c-b·c+c2≤0,∴a·c+b·c≥c2=1,∴|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c=3-2(a·c+b·c)≤1,∴|a+b-c|≤1.【答案】B二、填空题6.已知向量a=(1,sinθ),b=(1,cosθ),则|a-b|的最大值为________.【解析】∵a-b=(0,sinθ-cosθ),∴|a-b|==|sinθ-cosθ|=2|sin(θ-)|≤2,∴|a-b|的最大值为2.【答案】27.关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:①若a∥b且a∥c,则b∥c;②若a=(2,k),b=(-2,6),a∥b,则k=-6;③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).【解析】命题①明显错误.由两向量平行得2×6+2k=0,k=-6,故命题②正确.由|a|=|b|=|a-b|,再结合平行四边形法则可得a与a+b的夹角为30°,命题③正确.【答案】②③8.(2011·江苏高考)已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2.若a·b=0,则实数k的值为________.【解析】由题意a·b=0,即有(e1-2e2)·(ke1+e2)=0,∴ke+(1-2k)e1·e2-2e=0.又|e1|=|e2|=1,〈e1,e2〉=,∴k-2+(1-2k)·cos=0,k=.【答案】三、解答题图4-3-29.在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是边BC上一点,DC=2BD.如图4-3-2所示,试求AD·AC.【解】∵DC=2BD,即BD=BC,∴AD=AB+BD=AB+BC.又BC=AC-AB,因此AD=AB+(AC-AB)=AC+AB.∵∠BAC=120°,AB=2,AC=1,∴AD·AC=AC2+AB·AC=×12+×2×1·cos120°=-.10.(2012·揭阳调研)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(AB-tOC)·OC=0,求t的值.【解】(1)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).所以|AB+AC|=2,|AB-AC|=4.故所求的两条对角线长分别为4,2.(2)由题设知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t).由(AB-tOC)·OC=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t=-.11.已知a=(1,2),b=(-2,n),a与b的夹角是45°.(1)求b;(2)若c与b同向,且a与c-a垂直,求c.【解】(1)a·b=2n-2,|a|=,|b|=,∴cos45°==,∴3n2-16n-12=0(n>1),∴n=6或n=-(舍),∴b=(-2,6).(2)由(1)知,a·b=10,|a|2=5.又c与b同向,故可设c=λb(λ>0),(c-a)·a=0,∴λb·a-|a|2=0,∴λ===,∴c=b=(-1,3).