课时知能训练一、选择题1.函数f(x)=tan(x+)的单调增区间是()A.(kπ-,kπ+),k∈ZB.(kπ,(k+1)π),k∈ZC.(kπ-π,kπ+),k∈ZD.(kπ-,kπ+π),k∈Z【解析】由kπ-<x+<kπ+,k∈Z,得kπ-π<x<kπ+,k∈Z.【答案】C2.函数y=sin2x+sinx-1的值域为()A.[-1,1]B.[-,-1]C.[-,1]D.[-1,]【解析】f(x)=(sinx+)2-,又-≤sinx+≤,∴0≤(sinx+)2≤,∴f(x)的值域为[-,1].【答案】C3.已知函数f(x)=sin(x-)(x∈R),下面结论错误的是()A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)在区间[0,]上是增函数C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称D.函数f(x)是奇函数【解析】∵y=sin(x-)=-cosx,∴T=2π,在[0,]上是增函数,图象关于y轴对称.所以y=-cosx为偶函数.【答案】D4.函数f(x)=sinx-cosx(x∈[-π,0])的单调递增区间是()A.[-π,-]B.[-,-]C.[-,0]D.[-,0]【解析】∵f(x)=2sin(x-)的增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z),∴当x∈[-π,0]的增区间为[-,0].【答案】D5.(2012·珠海模拟)设函数f(x)=sinπx,若对任意的x∈R,有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为()A.4B.2C.1D.【解析】f(x)的最小正周期T=2,对x∈R,恒有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则f(x1)=-1,f(x2)=1,∴|x1-x2|的最小值为半个周期,则|x1-x2|min=1.【答案】C二、填空题6.函数f(x)=2cos2x+sin2x的最小值是________.【解析】y=2cos2x+sin2x=sin2x+1+cos2x=sin(2x+)+1≥1-.故f(x)的最小值是1-.【答案】1-7.(2012·汕头模拟)已知函数f(x)是以5为周期的奇函数,f(-3)=4且cosα=,则f(4cos2α)=________.【解析】由cosα=,得4cos2α=4(2cos2α-1)=-2,∴f(4cos2α)=f(-2)=f(3)=-f(-3)=-4.【答案】-48.已知函数f(x)=cosxsinx(x∈R),给出下列四个命题:①若f(x1)=-f(x2),则x1=-x2;②f(x)的最小正周期是2π;③f(x)在区间[-,]上是增函数;④f(x)的图象关于直线x=对称.其中真命题是________.【解析】易知f(x)=sin2x,∴③,④正确,①,②错误.【答案】③④三、解答题9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<)的周期为π,且图象上一个最低点为M(,-2).(1)求f(x)的解析式;(2)当x∈[0,]时,求f(x)的最值.【解】(1)由最低点为M(,-2),得A=2.由T=π,得ω===2.由点M(,-2)在图象上,得2sin(+φ)=-2,即sin(+φ)=-1,∴+φ=2kπ-,即φ=2kπ-,k∈Z.又φ∈(0,),∴φ=,∴f(x)=2sin(2x+).(2)∵x∈[0,],∴2x+∈[,],∴当2x+=,即x=0时,f(x)取得最小值1;当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值.10.(2011·天津高考)已知函数f(x)=tan(2x+).(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)设α∈(0,),若f()=2cos2α,求α的大小.【解】(1)由2x+≠+kπ,得x≠+.k∈Z.所以f(x)的定义域为{x∈R|x≠+,k∈Z}.f(x)的最小正周期为.(2)由f()=2cos2α,得tan(α+)=2cos2α,∴=2(cos2α-sin2α),则=2(cosα+sinα)(cosα-sinα).因为α∈(0,),所以sinα+cosα≠0.因此(cosα-sinα)2=,即sin2α=.由α∈(0,),得2α∈(0,),∴2α=,α=.11.(2012·深圳调研)已知函数f(x)=2sinx·cosx+2cos2x-1(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0,]上的最大值和最小值;(2)若f(x0)=,x0∈[,],求cos2x0的值.【解】(1)f(x)=(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=sin2x+cos2x=2sin(2x+).所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)=2sin(2x+)在区间[0,]上为增函数,在区间[,]上为减函数,又f(0)=1,f()=2,f()=-1,所以函数f(x)在区间[0,]上的最大值为2,最小值为-1.(2)由(1)可知f(x0)=2sin(2x0+).又因为f(x0)=,所以sin(2x0+)=.由x0∈[,],得2x0+∈[,].从而cos(2x0+)=-=-.所以cos2x0=cos[(2x0+)-]=cos(2x0+)cos+sin(2x0+)sin=.