课时知能训练一、选择题1．函数f(x)＝tan(x＋)的单调增区间是()A．(kπ－，kπ＋)，k∈ZB．(kπ，(k＋1)π)，k∈ZC．(kπ－π，kπ＋)，k∈ZD．(kπ－，kπ＋π)，k∈Z【解析】由kπ－＜x＋＜kπ＋，k∈Z，得kπ－π＜x＜kπ＋，k∈Z.【答案】C2．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为()A．[－1,1]B．[－，－1]C．[－，1]D．[－1，]【解析】f(x)＝(sinx＋)2－，又－≤sinx＋≤，∴0≤(sinx＋)2≤，∴f(x)的值域为[－，1]．【答案】C3．已知函数f(x)＝sin(x－)(x∈R)，下面结论错误的是()A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间[0，]上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数【解析】∵y＝sin(x－)＝－cosx，∴T＝2π，在[0，]上是增函数，图象关于y轴对称．所以y＝－cosx为偶函数．【答案】D4．函数f(x)＝sinx－cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是()A．[－π，－]B．[－，－]C．[－，0]D．[－，0]【解析】∵f(x)＝2sin(x－)的增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，∴当x∈[－π，0]的增区间为[－，0]．【答案】D5．(2012·珠海模拟)设函数f(x)＝sinπx，若对任意的x∈R，有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为()A．4B．2C．1D.【解析】f(x)的最小正周期T＝2，对x∈R，恒有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则f(x1)＝－1，f(x2)＝1，∴|x1－x2|的最小值为半个周期，则|x1－x2|min＝1.【答案】C二、填空题6．函数f(x)＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．【解析】y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin(2x＋)＋1≥1－.故f(x)的最小值是1－.【答案】1－7．(2012·汕头模拟)已知函数f(x)是以5为周期的奇函数，f(－3)＝4且cosα＝，则f(4cos2α)＝________.【解析】由cosα＝，得4cos2α＝4(2cos2α－1)＝－2，∴f(4cos2α)＝f(－2)＝f(3)＝－f(－3)＝－4.【答案】－48．已知函数f(x)＝cosxsinx(x∈R)，给出下列四个命题：①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；②f(x)的最小正周期是2π；③f(x)在区间[－，]上是增函数；④f(x)的图象关于直线x＝对称．其中真命题是________．【解析】易知f(x)＝sin2x，∴③，④正确，①，②错误．【答案】③④三、解答题9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜)的周期为π，且图象上一个最低点为M(，－2)．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[0，]时，求f(x)的最值．【解】(1)由最低点为M(，－2)，得A＝2.由T＝π，得ω＝＝＝2.由点M(，－2)在图象上，得2sin(＋φ)＝－2，即sin(＋φ)＝－1，∴＋φ＝2kπ－，即φ＝2kπ－，k∈Z.又φ∈(0，)，∴φ＝，∴f(x)＝2sin(2x＋)．(2)∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，∴当2x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最小值1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值.10．(2011·天津高考)已知函数f(x)＝tan(2x＋)．(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，)，若f()＝2cos2α，求α的大小．【解】(1)由2x＋≠＋kπ，得x≠＋.k∈Z.所以f(x)的定义域为{x∈R|x≠＋，k∈Z}．f(x)的最小正周期为.(2)由f()＝2cos2α，得tan(α＋)＝2cos2α，∴＝2(cos2α－sin2α)，则＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．因为α∈(0，)，所以sinα＋cosα≠0.因此(cosα－sinα)2＝，即sin2α＝.由α∈(0，)，得2α∈(0，)，∴2α＝，α＝.11．(2012·深圳调研)已知函数f(x)＝2sinx·cosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．【解】(1)f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)．所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)＝2sin(2x＋)在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f(0)＝1，f()＝2，f()＝－1，所以函数f(x)在区间[0，]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f(x0)＝2sin(2x0＋)．又因为f(x0)＝，所以sin(2x0＋)＝.由x0∈[，]，得2x0＋∈[，]．从而cos(2x0＋)＝－＝－.所以cos2x0＝cos[(2x0＋)－]＝cos(2x0＋)cos＋sin(2x0＋)sin＝.
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