专题限时集训(十五)圆锥曲线中的综合问题[建议用时：45分钟]1．(2016·中原名校联盟二模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点B(0，)为短轴的一个端点，∠OF2B＝60°.图154(1)求椭圆C的方程；(2)如图154，过右焦点F2，且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AD分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′.试问k·k′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．[解](1)由条件可知a＝2，b＝，故所求椭圆方程为＋＝1.4分(2)设过点F2(1,0)的直线l的方程为y＝k(x－1)．由可得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.5分因为点F2(1,0)在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，即Δ＞0恒成立．设点E(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.6分因为直线AE的方程为y＝(x－2)，直线AD的方程为y＝(x－2)，令x＝3，可得M，N，所以点P的坐标.8分直线PF2的斜率为k′＝＝·＝·＝·＝－，所以k·k′为定值－.12分2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2是左右焦点，A，B是长轴两端点，点P(a，b)与F1，F2围成等腰三角形，且S△PF1F2＝.(1)求椭圆C的方程；(2)设点Q是椭圆上异于A，B的动点，直线x＝－4与QA，QB分别交于M，N两点．(i)当QF1＝λMN时，求Q点坐标；(ⅱ)过点M，N，F1三点的圆是否经过x轴上不同于点F1的定点？若经过，求出定点坐标，若不经过，请说明理由．[解](1)F1(－c,0)，F2(c,0)，由题意可得F1F2＝PF2，∴(a－c)2＋b2＝4c2.1分由S△PF1F2＝可得，·2c·b＝bc＝.2分两式联立解得a＝2，b＝，∴椭圆的方程为＋＝1.4分(2)(ⅰ)∵QF1＝λMN，∴QF1∥MN，∴QF1⊥x轴.5分由(1)知，c2＝1，∴F1(－1,0)．设Q(－1，y)，则有＋＝1，∴y＝±，∴Q.7分(ⅱ)设Q(x0，y0)，则kQA＝，直线QA的方程为y＝(x＋2)．令x＝－4得M点坐标为.9分同理kQB＝，直线QB的方程为y＝(x－2)，得N点坐标为，10分MN＝＝.11分设圆心坐标为O(m，n)，若x轴上存在定点E(λ，0)满足条件，则有m＝，n＝＝.12分由题意可得(m＋4)2＋＝n2＋，13分代入得2＋·＝＋.即2－＝＝＝－9，整理得λ＝－7，∴x轴上存在点E(－7,0)满足题意.14分3．(2016·淄博二模)已知点是等轴双曲线C：－＝1上一点，抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点与双曲线C的一个焦点重合．图155(1)求抛物线的方程；(2)若点P是抛物线上的动点，点A，B在x轴上，圆x2＋(y－1)2＝1内切于△PAB，求△PAB面积的最小值．[解](1)将代入双曲线可得，－＝1，解得a2＝，c2＝a2＋a2＝，2分由题意可知，＝，p＝1，所以抛物线方程为x2＝2y.4分(2)设P(x0，y0)，A(m,0)，B(n,0)，不妨设n＞m.直线PA的方程：y＝(x－m)，化简得y0x＋(m－x0)y－my0＝0.6分又圆心(0,1)到PA的距离为1，＝1，上式化简得(y－2y0)m2＋2x0y0m－y＝0，同理有(y－2y0)n2＋2x0y0n－y＝08分所以m＋n＝＝，mn＝＝，则(m－n)2＝.10分因P(x0，y0)是抛物线上的点，有x＝2y0，则(m－n)2＝，易知y0＞2，所以n－m＝.所以S△PAB＝(n－m)·y0＝·y0＝(y0－2)＋＋4≥2＋4＝8.12分当(y0－2)2＝4时，上式取等号，此时y0＝4，x0＝±2.因此S△PAB的最小值为8.13分4．(2016·开封二模)已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点.图156(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围.【导学号：67722057】[解](1)由题意可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则＝(其中c2＝a2－b2，c＞0)，且＋＝1，故a＝2，b＝1.所以椭圆的方程为＋y2＝1.4分(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0.故可设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，5分则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，且x1＋x2＝－，x1x2＝.6分故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，7分因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以·＝＝k2，即－＋m2＝0.8分又m≠0，所以k2＝，即k＝±.9分由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m2＜2，且m2≠1.设d为点O到直线l的距离，则d＝，10分|PQ|＝＝，11分所以S＝|PQ|d＝＜＝1(m2≠1)，故△OPQ面积的取值范围为(0,1).12分
