课后作业(三十九)直接证明与间接证明一、选择题1．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”中应用了()A．分析法B．综合法C．分析法和综合法综合使用D．间接证法2．(2013·山师大附中模拟)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为()A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥04．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P、Q的大小关系是()A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值确定5．(2013·宜春调研)对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中真命题是()A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊂α，n∥α，则m∥nD．若m、n与α所成的角相等，则m∥n6．已知函数f(x)＝()x，a，b是正实数，A＝f()，B＝f()，C＝f()，则A、B、C的大小关系为()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A二、填空题7．下列条件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是________．8．(2013·茂名模拟)下面有4个命题：①当x＞0时，2x＋的最小值为2；②若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且其一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则双曲线的离心率为2；③将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y＝sin(2x－)的图象；④在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝a，BC＝b，则△ABC的外接圆半径r＝；类比到空间，若三棱锥S—ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S—ABC的外接球的半径R＝.其中错误命题的序号为________．9．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f()，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．三、解答题10．(1)设x是正实数，求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3；(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．11．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00.(1)证明：是函数f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明＞c.12．(2013·珠海模拟)在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋＝，试问A、B、C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．解析及答案一、选择题1．【答案】B2．【解析】“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为“a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”．【答案】B3．【解析】a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.【答案】D4．【解析】 P2＝2a＋7＋2＝2a＋7＋2，Q2＝2a＋7＋2＝2a＋7＋2，∴P2＜Q2，∴P＜Q.【答案】C5．【解析】对于平面α和共面直线m、n.设m，n确定的平面为β，对于C，若m⊂α，则m＝α∩β，从而n∥α可得m∥n，因此C正确．【答案】C6．【解析】 ≥≥，又f(x)＝()x在R上是减函数，∴f()≤f()≤f()，即A≤B≤C.【答案】A二、填空题7．【解析】要使＋≥2，只要＞0且＞0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．【答案】38．【解析】对于①，2x＋取得最小值为2的条件是x＝0，这与x＞0相矛盾；对于③，将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y＝sin2(x－)＝sin(2x－)的图象；易证②成立；对于④，可将该三棱锥补成长方体，其外接球的直径恰好是长方体的体对角线．【答案】①③9．【解析】 f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A、B、C∈(0，π)，∴≤f()＝f()，即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝，所以sinA＋sinB＋sinC的最大值为.【答案】三、解答题10．【证明】(1)x是正实数，由基本不等式知x＋1≥2，1＋x2≥2x，x3＋1≥2，故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立)．(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．由(1)知，...
